Edits to “Решение”, “Ответ: а. б”

astrosander edited
View solution History
revision #12291 parent #11445 ← older
ru/6.1.21.md +48 −2
@@ -4,6 +4,52 @@Условие:
### Решение:
−Кольцо создаёт на своей границе напряжённость, эквивалентную напряжённости точечного заряда, т.е. $E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$. Тогда сила, действующая на малый участок кольца зарядом $dq=\frac{d\alpha}{2\pi}Q$($d\alpha$ - величина дуги участка), равна: $F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dqQ}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{r^2}$ (пропорциональна $Q^2$ и $\frac{1}{r^2}$) а. Увеличение прочности в 10 раз означает увеличение силы, необходимой для разрыва, в 10 раз. $F=10F_0 \Rightarrow Q^2=10Q_0^2 \Rightarrow Q=\sqrt{10}Q_0$ б. Прочность пропорциональна количеству атомарных связей связей в поперечном сечении кольца (площади поперечного сечения), т.е. квадрату линейных размеров. $r=3r_0 \Rightarrow F=3^2F_0=9F_0$ $r=3r_0, F=9F_0 \Rightarrow \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{(3r_0)^2}=9\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q_0^2}{r_0^2} \Rightarrow \frac{Q^2}{9r_0^2}=9\frac{Q_0^2}{r_0^2} \Rightarrow Q=9Q_0$
+Кольцо с зарядом $Q$ создаёт напряжённость, аналогичную точечному заряду:
−### Ответ: $\sqrt{10}Q$ || $9Q$
+$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$
+
+Тогда сила, действующая на малый участок кольца зарядом
+
+Малый участок кольца ($d\alpha$ - величина дуги участка) имеет заряд, равный
+
+$$dq=\frac{d\alpha}{2\pi}Q$$
+
+испытывает кулоновскую силу:
+$$F=E\cdot dq=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dqQ}{r^2}$$
+
+Подставляя $dq$:
+
+$$dq=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{r^2}$$
+
+Таким образом, сила, разрывающая кольцо, пропорциональна $Q^2$ и обратно пропорциональна $r^2$.
+
+а. Прочность кольца прямо пропорциональна максимальной силе, которую оно выдерживает. Условие:
+
+\[
+F_{\text{нов}} = 10 \cdot F_{\text{стар}}.
+\]
+
+Поскольку \( F \sim Q^2 \), получаем:
+
+\[
+Q_{\text{нов}}^2 = 10 \cdot Q_{\text{стар}}^2 \quad \Rightarrow \quad Q_{\text{нов}} = \sqrt{10} \cdot Q.
+\]
+
+
+б. Прочность пропорциональна количеству атомарных связей связей в поперечном сечении кольца (площади поперечного сечения), т.е. квадрату линейных размеров.
+
+$$r=3r_0 \Rightarrow F=3^2F_0=9F_0$$
+
+Одновременно радиус увеличился:
+
+$$r=3r_0$$
+
+Сила на единицу дуги теперь:
+
+$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{(3r_0)^2}=9\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q_0^2}{r_0^2}$$
+
+Упростим:
+
+$$\frac{Q^2}{9r_0^2}=9\frac{Q_0^2}{r_0^2} \Rightarrow Q=9Q_0$$
+
+#### Ответ: а. $q =\sqrt{10}Q\quad$б. $q = 9Q$