Решение

Условие равновесия на горизонтальную ось $$F_\text{fr1} = \mu N_1 \quad (1)$$ $$F_\text{fr2} = \mu N_2 \quad (2)$$ Альтернативно, для вертикальной оси $$N_1 = m_1g \quad (3)$$ $$N_2 = m_2g \quad (4)$$ Подставляем $(3)$ и $(4)$ в уравнения $(1)$ и $(2)$ $$F_\text{fr1} = \mu m_1g$$ $$F_\text{fr2} = \mu m_2g$$ Воспользуемся законом сохранения энергии: сила $\vec{F}$ действует против силы натяжения пружины и против силы трения. $$A=Fx=\Delta E$$ Подставляя потенциальную энергию пружины $$Fx = \frac{kx^2}{2} + F_\text{fr1}x$$ $$F= \frac{kx}{2} + \mu m_1 g \quad (5)$$ Из состояния равновесия в установившемся состоянии $$kx = \mu m_2 g \quad (6)$$ После подстановки $(6)$ в $(5)$ мы наконец получаем $$\boxed{ F = \mu g \left( m_1 +\frac{m_2}{2} \right)}$$