Edit to “Решение”
ru/2.4.3.md
+7 −7
| ### Условие: | |||
| $2.4.3^*.$ Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел? | |||
| ### Решение: | |||
| @@ -6,30 +6,30 @@Решение: | |||
| Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение | |||
| − | $$m_1x_1 = m_2x_2 | ||
| + | $$m_1x_1 = m_2x_2 \tag{1}$$ | ||
| Кроме того, выполняется закон сохранения импульса: | |||
| − | $$m_1v_1 = m_2v_2 | ||
| + | $$m_1v_1 = m_2v_2 \tag{2}$$ | ||
| Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел: | |||
| − | $$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} | ||
| + | $$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} \tag{3}$$ | ||
| Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$: | |||
| − | $$m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1; | ||
| + | $$m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1;\tag{4}$$ | ||
| Из закона сохранения импульса \((2)\) выразим скорость \( v_2 \) через \( v_1 \): | |||
| − | $$v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1. | ||
| + | $$v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1. \tag{5}$$ | ||
| Подставим \( m_2 \) и \( v_2 \) из \((4)\) и \((5)\) в уравнение \((3)\). Рассмотрим сначала вклад первого тела: | |||
| − | $$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}. | ||
| + | $$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}.\tag{6}$$ | ||
| Для второго тела подставим \( m_2 \) и \( v_2 \): | |||
| − | $$\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}. | ||
| + | $$\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}.\tag{7}$$ | ||
| #### Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2},~E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.4.3^*.$ Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел? | $2.4.3^*.$ Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| @@ -6,30 +6,30 @@Решение: | |||
| Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение | Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение | ||
| $$m_1x_1 = m_2x_2 |
$$m_1x_1 = m_2x_2 \tag{1}$$ | ||
| Кроме того, выполняется закон сохранения импульса: | Кроме того, выполняется закон сохранения импульса: | ||
| $$m_1v_1 = m_2v_2 |
$$m_1v_1 = m_2v_2 \tag{2}$$ | ||
| Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел: | Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел: | ||
| $$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} |
$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} \tag{3}$$ | ||
| Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$: | Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$: | ||
| $$m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1; |
$$m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1;\tag{4}$$ | ||
| Из закона сохранения импульса \((2)\) выразим скорость \( v_2 \) через \( v_1 \): | Из закона сохранения импульса \((2)\) выразим скорость \( v_2 \) через \( v_1 \): | ||
| $$v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1. |
$$v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1. \tag{5}$$ | ||
| Подставим \( m_2 \) и \( v_2 \) из \((4)\) и \((5)\) в уравнение \((3)\). Рассмотрим сначала вклад первого тела: | Подставим \( m_2 \) и \( v_2 \) из \((4)\) и \((5)\) в уравнение \((3)\). Рассмотрим сначала вклад первого тела: | ||
| $$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}. |
$$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}.\tag{6}$$ | ||
| Для второго тела подставим \( m_2 \) и \( v_2 \): | Для второго тела подставим \( m_2 \) и \( v_2 \): | ||
| $$\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}. |
$$\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}.\tag{7}$$ | ||
| #### Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2},~E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$ | #### Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2},~E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$ | ||