Edit to “Решение”

Anonymous edited Feb 17, 2025, 11:22 AM

View solution History

revision #13212 parent #12340 ← older newer →

ru/2.4.3.md +1 −1

			### Условие:

			$2.4.3^*.$ Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?

			### Решение:

			Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение

			$$
			m_1x_1 = m_2x_2 \tag{1}
			$$

			Кроме того, выполняется закон сохранения импульса:

			$$
			m_1v_1 = m_2v_2 \tag{2}
			$$

			Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел:

			$$
			\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} \tag{3}
			$$

			Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$:

			$$
			m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1;\tag{4}
			$$

		@@ -31,7 +31,7 @@Решение:
			Из закона сохранения импульса \((2)\) выразим скорость \( v_2 \) через \( v_1 \):

			$$
		−	v_2 = \frac{~~x_2}{x_1~~}v_1. \tag{5}
		+	v_2 = \frac{m_1}{m_2}v_1. \tag{5}
			$$

			Подставим \( m_2 \) и \( v_2 \) из \((4)\) и \((5)\) в уравнение \((3)\). Рассмотрим сначала вклад первого тела:

			$$
			\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}.\tag{6}
			$$

			Для второго тела подставим \( m_2 \) и \( v_2 \):

			$$
			\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}.\tag{7}
			$$

			#### Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2},~E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$
		unchanged lines 12

	### Условие:		### Условие:

	$2.4.3^*.$ Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?		$2.4.3^*.$ Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?

	### Решение:		### Решение:

	Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение		Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение

	$$		$$
	m_1x_1 = m_2x_2 \tag{1}		m_1x_1 = m_2x_2 \tag{1}
	$$		$$

	Кроме того, выполняется закон сохранения импульса:		Кроме того, выполняется закон сохранения импульса:

	$$		$$
	m_1v_1 = m_2v_2 \tag{2}		m_1v_1 = m_2v_2 \tag{2}
	$$		$$

	Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел:		Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел:

	$$		$$
	\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} \tag{3}		\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} \tag{3}
	$$		$$

	Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$:		Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$:

	$$		$$
	m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1;\tag{4}		m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1;\tag{4}
	$$		$$

	@@ -31,7 +31,7 @@Решение:
	Из закона сохранения импульса \((2)\) выразим скорость \( v_2 \) через \( v_1 \):		Из закона сохранения импульса \((2)\) выразим скорость \( v_2 \) через \( v_1 \):

	$$		$$
	v_2 = \frac{~~x_2}{x_1~~}v_1. \tag{5}		v_2 = \frac{m_1}{m_2}v_1. \tag{5}
	$$		$$

	Подставим \( m_2 \) и \( v_2 \) из \((4)\) и \((5)\) в уравнение \((3)\). Рассмотрим сначала вклад первого тела:		Подставим \( m_2 \) и \( v_2 \) из \((4)\) и \((5)\) в уравнение \((3)\). Рассмотрим сначала вклад первого тела:

	$$		$$
	\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}.\tag{6}		\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}.\tag{6}
	$$		$$

	Для второго тела подставим \( m_2 \) и \( v_2 \):		Для второго тела подставим \( m_2 \) и \( v_2 \):

	$$		$$
	\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}.\tag{7}		\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}.\tag{7}
	$$		$$

	#### Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2},~E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$		#### Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2},~E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$
	unchanged lines 12