Решение

а) Т.к. внешняя сила(сила тяготения) действует только в вертикальном направлении, горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается неизменной

$$v_x = v \cdot \cos{\varphi}\tag{1}$$

А вертикальная составляющая зависит как функция от времени

$$v_y(t) = v \cdot \sin{\varphi} - gt\tag{2}$$

б) Исходя из полученных выражений для скорости $(1)$ и $(2)$, получаем зависимость горизонатальной и вертикальной координаты от времени, соответственно:

$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}\tag{3}$$

$$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}\tag{4}$$

в) Из $(4)$ выражаем $t$:

$$t = \frac{x}{v \cdot \cos{\varphi}} \tag{5}$$

И подставляем в $(3)$

$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}\tag{6}$$

г) Максимальная высота достигается тогда, когда скорость будет направлена горизонтально($v_y = 0$):

$$t_0 = \frac{v\sin\varphi}{g}\tag{7}$$

Подставляя $(7)$ в $(3)$:

$$H = \frac{v^2}{2g}\operatorname{sin}^2\varphi\tag{8}$$

Из симметрии параболы, время через к-ое тело снова окажется на земле$(y = 0)$, найдем как:

$$T = 2t_0 = \frac{2v\sin\varphi}{g}\tag{9}$$

Подставляя $(9)$ в $(4)$:

$$L=\frac{v^2}{g}\operatorname{sin}2\varphi\tag{10}$$