Решение

Перенумеруем грузы так, как показано на рисунке, и ось $X$ направим вправо.

Ясно, что тогда ни один из грузов не может иметь отрицательного ускорения.

Докажем что грузы $3$ и $4$ движутся как одно целое. Для этого предположим противное: пусть груз $3$ скользит по грузу $4$. Тогда между ними возникает сила трения $$F_{тр}= \mu mg$$ а в нити возникает сила упругости $$T> \mu mg$$ При этом ускорение груза $2$ было бы направлено влево, чего не может быть. Следовательно, ускорения грузов $2$, $3$ и $4$ одинаковы.

Обозначим ускорение этих грузов через $\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}$, а ускоренbе груза $1$ через $\bar{a}_{1}$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть грузы $1$ и $2$ находятся в относительном покое и $\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}$.

Обозначим модуль силы трения покоя между ними через $F_1$ -модуль силы трения между грузами $3$ и $4$ через $F_2$ и модуль силы упругости нити через $T$ .

Тогда: для груза $1$ $$F-F_{1}=Ma_{1}$$ для груза $2$ $$F_{1}-T=ma_{2}$$ для груза $3$ $$T-F_{2}=ma_{2}$$ для груза $4$ $$F_{2}=Ma_{2}$$ Решая эту систему уравнений, получаем: $$F_{1}=\frac{2m+M}{2(M+m)}F,a_{1}=a_{2}=\frac{F}{2(M+m)}$$ Этот же результат можно получить и другим путем. Так как трение между всеми поверхностями является трением покоя, то система грузов движется как одно тело с массой $M=2(M+m)$.

Поэтому $$\bar{F}=m \bar{a}_{1},\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}= \frac{\bar{F}}{2(M+m)}$$ Случай $2$.

Пусть груз $2$ скользит то грузу $1$. Тогда на груз $1$ действует сила трения $$F_{тр}^{\prime}= \mu mg$$ и этот груз получает ускорение $a_{1}=\frac{F- \mu mg}{m}$.

Система грузов $2$, $3$ и $4$ движется как одно тело, масса которого $M_{0}=2m+M$ с ускорением $$a_{2}=\frac{\mu mg}{2m+M}$$ Первый случай реализуется, если $$F \geq \frac{2 \mu m (m+M)g}{2m+M}$$