Решение

Через время $t$ металлический стержень $AB$ проедет расстояние

$$x = vt\tag{1}$$

При этом длина стержня $AB$, соединяющая точки касания идеального проводника

$$AB = x \tan\alpha\tag{2}$$

При этом сопротивление проводника составит

$$R = \rho \cdot AB = \rho vt \tan\alpha\tag{3}$$

Площадь заметаемая проводником за время $dt$

$$dS = AB dx = AB v dt = v^2t \tan\alpha ~dt\tag{4}$$

При этом изменение магнитного потока $d \Phi$

$$d \Phi = B ~dS = v^2Bt \tan\alpha ~dt\tag{5}$$

ЭДС самоиндукции, возникающая в проводнике

$$\varepsilon = \frac{d \Phi}{dt} = v^2Bt \tan\alpha\tag{6}$$

По закону Джоуля-Ленца, количество выделенной теплоты $dQ$ за время $dt$

$$\frac{dQ}{dt} = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{v^3B^2t \tan\alpha}{\rho}\tag{7}$$

Время $t_0$ за которое стержень пройдёт со скоростью $v$ от точки $O$ до точки $C$

$$t_0 = \frac{l}{v}\tag{8}$$

Полная энергия, выделенная за время $t_0$

$$Q=\int_0^{t_0}dQ\tag{9}$$

Подставляем в подинтегральное выражение, мощность выделения теплоты $(7)$

$$Q=\int_0^{t_0} \frac{v^3B^2t \tan\alpha}{\rho} dt\tag{10}$$

Вынося константу, решаем:

$$Q= \frac{v^3B^2 \tan\alpha}{\rho} \int_0^{t_0} t~dt = \frac{v^3B^2 \tan\alpha}{\rho} \frac{t_0^2}{2}\tag{11}$$

Подставляем время $t_0$ из уравнения $(8)$

$$Q = \frac{v^3B^2 \tan\alpha}{\rho} \frac{l^2}{2v^2} = \frac{B^2l^2v \tan\alpha}{2\rho }\tag{12}$$