Решение

Если рассматривать стержень массой $m$ как единое целое, то он будет двигаться с ускорением

$$a = \frac{F}{m}$$

Т.к. стержень нерасстяжим, то ускорение всех его частей одинаково и равно $a$

Рассмотрим малый участок стержня длины $dx$ и массы $dm$. Т.к. стержень однородный

$$dm = m \frac{dx}{l}$$

Запишем второй закон ньютона для этого участка.

$$a\, dm = F(x+dx) - F(x)\tag{1}$$

Где $F(x+dx)$ и $F(x)$ сила взаимодействия вместе с соседями

Проинтегрируем выражение $(1)$ по горизонтальной координате $x$:

$$\int_x^l am\frac{dx}{l} = \int_x^l dF$$

$$ma\frac{l-x}{l}$$

$$F(x) = \fbox{$F\left(1-\frac{x}{l}\right)$}$$