Edits to “Условие”, “Решение”
ru/2.7.6.md
+8 −8
| @@ -1,22 +1,22 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $2.7.6.$ Тонкостенный цилиндр радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $ω$ и поставили в угол, как показано на рисунке. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен $µ$. Сколько оборотов цилиндр сделает до полной остановки? | |||
| − |  | ||
| #### Решение | |||
| Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$): | |||
| − | $$ | ||
| + | $$n=\frac{θ}{2π}$$ | ||
| Угол вращения можно найти по формуле: | |||
| $$θ=\frac{ω²}{2ε}$$ | |||
| Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил: | |||
| − | $$Iε=μNR+μ | ||
| + | $$Iε=μN_xR+μN_yR$$ | ||
| − | Что бы найти $N$ и $ | ||
| − | $$N=mg-μ | ||
| − | $$ | ||
| + | Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона: | ||
| + | $$N_y=mg-μN_x$$ | ||
| + | $$N_x=μN_y$$ | ||
| Получаем: | |||
| − | $$N=\frac{mg}{1+μ²}$$ | ||
| − | $$ | ||
| + | $$N_y=\frac{mg}{1+μ²}$$ | ||
| + | $$N_x=\frac{μmg}{1+μ²}$$ | ||
| Момент инерции тонкостенного цилиндра: | |||
| $$I=mR²$$ | |||
| Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$: | |||
| $$ε=\frac{μg(1+μ²)}{2R(1+μ)}$$ | |||
| Найдем угол вращения $θ$: | |||
| $$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{2μg(1+μ)}$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $${x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ | |||
| unchanged lines 9 | |||
| @@ -1,22 +1,22 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.6.$ Тонкостенный цилиндр радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $ω$ и поставили в угол, как показано на рисунке. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен $µ$. Сколько оборотов цилиндр сделает до полной остановки? | $2.7.6.$ Тонкостенный цилиндр радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $ω$ и поставили в угол, как показано на рисунке. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен $µ$. Сколько оборотов цилиндр сделает до полной остановки? | ||
|  | ||
| #### Решение | #### Решение | ||
| Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$): | Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$): | ||
| $$ |
$$n=\frac{θ}{2π}$$ | ||
| Угол вращения можно найти по формуле: | Угол вращения можно найти по формуле: | ||
| $$θ=\frac{ω²}{2ε}$$ | $$θ=\frac{ω²}{2ε}$$ | ||
| Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил: | Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил: | ||
| $$Iε=μNR+μ |
$$Iε=μN_xR+μN_yR$$ | ||
| Что бы найти $N$ и $ |
Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона: | ||
| $$N=mg-μ |
$$N_y=mg-μN_x$$ | ||
| $$ |
$$N_x=μN_y$$ | ||
| Получаем: | Получаем: | ||
| $$N=\frac{mg}{1+μ²}$$ | $$N_y=\frac{mg}{1+μ²}$$ | ||
| $$ |
$$N_x=\frac{μmg}{1+μ²}$$ | ||
| Момент инерции тонкостенного цилиндра: | Момент инерции тонкостенного цилиндра: | ||
| $$I=mR²$$ | $$I=mR²$$ | ||
| Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$: | Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$: | ||
| $$ε=\frac{μg(1+μ²)}{2R(1+μ)}$$ | $$ε=\frac{μg(1+μ²)}{2R(1+μ)}$$ | ||
| Найдем угол вращения $θ$: | Найдем угол вращения $θ$: | ||
| $$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{2μg(1+μ)}$$ | $$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{2μg(1+μ)}$$ | ||
| Отсюда: | Отсюда: | ||
| $$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ | $$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $${x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ | $${x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ | ||
| unchanged lines 9 | |||