| @@ -1,31 +1,32 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.6.$ Тонкостенный цилиндр радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $ω$ и поставили в угол, как показано на рисунке. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен $µ$. Сколько оборотов цилиндр сделает до полной остановки? |
| $2.7.6.$ Тонкостенный цилиндр радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $\omega$ и поставили в угол, как показано на рисунке. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен $\mu$. Сколько оборотов цилиндр сделает до полной остановки? |
|  |
| |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| #### Решение |
| #### Решение |
| Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$): |
| Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$): |
| $$n=\frac{θ}{2π}$$ |
| $$n=\frac{θ}{2π}$$ |
| Угол вращения можно найти по формуле: |
| Угол вращения можно найти по формуле: |
| $$θ=\frac{ω²}{2ε}$$ |
| $$θ=\frac{ω^2}{2ε}$$ |
| Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил: |
| Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил: |
| $$Iε=μN_xR+μN_yR$$ |
| $$Iε=μN_xR+μN_yR$$ |
| |
| |
| Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона: |
| Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона: |
| $$N_y=mg-μN_x$$ |
| $$N_y=mg-μN_x$$ |
| $$N_x=μN_y$$ |
| $$N_x=μN_y$$ |
| Получаем: |
| Получаем: |
| $$N_y=\frac{mg}{1+μ²}$$ |
| $$N_y=\frac{mg}{1+μ^2}$$ |
| $$N_x=\frac{μmg}{1+μ²}$$ |
| $$N_x=\frac{μmg}{1+μ^2}$$ |
| |
| |
| Момент инерции тонкостенного цилиндра: |
| Момент инерции тонкостенного цилиндра: |
| $$I=mR²$$ |
| $$I=mR^2$$ |
| |
| |
| Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$: |
| Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$: |
| $$ε=\frac{μg(1+μ²)}{2R(1+μ)}$$ |
| $$ε=\frac{μg(1+μ^2)}{2R(1+μ)}$$ |
| Найдем угол вращения $θ$: |
| Найдем угол вращения $θ$: |
| $$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{2μg(1+μ)}$$ |
| $$θ=\frac{ω^2R(1+μ^2)}{2μg(1+μ)}$$ |
| Отсюда: |
| Отсюда: |
| $$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ |
| $$\boxed{x=\frac{ω^2R(1+μ^2)}{4πμg(1+μ)}}$$ |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| $${x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ |
| $${x=\frac{ω^2R(1+μ^2)}{4πμg(1+μ)}}$$ |
