| @@ -1,44 +1,51 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.7.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.7.7.$ Решите задачу $2.7.6$ в случае, если в угол поставили раскрученный сплошной однородный цилиндр. Момент инерции такого цилиндра $J= mR^2/2$, где $m$ — его масса. |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + |  |
| | | |
| | + | #### Решение |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | + | Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$): |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | $$n=\frac{θ}{2π}$$ |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | Угол вращения можно найти по формуле: |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | $$θ=\frac{ω²}{2ε}$$ |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил: |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | $$Iε=μN_xR+μN_yR$$ |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона: |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | $$N_y=mg-μN_x$$ |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | $$N_x=μN_y$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | Получаем: |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | + | $$N_y=\frac{mg}{1+μ²}$$ |
| | | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | + | $$N_x=\frac{μmg}{1+μ²}$$ |
| | | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | + | Момент инерции сплошного цилиндра: |
| | | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | + | $$I=\frac{mR²}{2}$$ |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | + | Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$: |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | + | $$ε=\frac{2μg(1+μ²)}{R(1+μ)}$$ |
| | | |
| | + | Найдем угол вращения $θ$: |
| | | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{4μg(1+μ)}$$ |
| | + | |
| | + | Отсюда: |
| | + | |
| | + | $$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{8πμg(1+μ)}}$$ |
| | + | |
| | + | #### Ответ |
| | + | |
| | + | $${x=\frac{ω²R(1+μ²)}{8πμg(1+μ)}}$$ |
