| @@ -1,9 +1,9 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.18.$ На валик радиуса $r$ плотно насажен сплошной диск. Момент инерции |
| $2.7.18.$ На валик радиуса $r$ плотно насажен сплошной диск. Момент инерции |
| этой системы относительно оси $J$, масса $m$. На валик симметрично намотаны |
| этой системы относительно оси $J$, масса $m$. На валик симметрично намотаны |
| две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вертикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения |
| две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вертикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения |
| нитей. |
| нитей.  |
| #### Решение |
| #### Решение |
| Распишем второй закон Ньютона и момент сил: |
| Распишем второй закон Ньютона и момент сил: |
| $$ma=mg-2T$$ |
| $$ma=mg-2T$$ |
| $$J\varepsilon=2Tr$$ | | $$J\varepsilon=2Tr$$ |
| А так же связь угловой и линейной ускорений: | | А так же связь угловой и линейной ускорений: |
| $$a=\varepsilon r$$ | | $$a=\varepsilon r$$ |
| С учетом связи ускорений, получаем: | | С учетом связи ускорений, получаем: |
| $$\frac{Ja}{r}=2Tr$$ | | $$\frac{Ja}{r}=2Tr$$ |
| Выразим $T$: | | Выразим $T$: |
| $$T=\frac{Ja}{2r^2}$$ | | $$T=\frac{Ja}{2r^2}$$ |
| Подставим полученное выражение в уравнение динамики: | | Подставим полученное выражение в уравнение динамики: |
| $$ma=mg-\frac{Ja}{r^2}$$ | | $$ma=mg-\frac{Ja}{r^2}$$ |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| $$a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}$$ | | $$a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}$$ |
| Или как записано в авторском ответе: | | Или как записано в авторском ответе: |
| $$\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}$$ | | $$\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}$$ |
| Подставим полученный ответ в выражение $T$: | | Подставим полученный ответ в выражение $T$: |
| $$T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow$$ | | $$T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow$$ |
| $$\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}$$ | | $$\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}$$ |
| Это соответсвует авторскому ответу: | | Это соответсвует авторскому ответу: |
| $$\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}$$ | | $$\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $$a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}$$ | | $$a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}$$ |
| $$T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}$$ | | $$T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}$$ |
| | | |
