Edit to “Условие”

astrosander edited Jan 12, 2025, 12:14 AM

View solution History

revision #12718 parent #12717 ← older

ru/2.7.18.md +1 −1

		@@ -1,8 +1,8 @@
			### Условие

			$2.7.18.$ На валик радиуса $r$ плотно насажен сплошной диск. Момент инерции этой системы относительно оси $J$, масса $m$. На валик симметрично намотаны две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вертикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения нитей.

		−	![К задаче $2.7.18$\|606x285, 50%](../../img/2.7.18/2.7.18.png)
		+	![К задаче $2.7.18$\|606x285, 40%](../../img/2.7.18/2.7.18.png)

			#### Решение

			Распишем второй закон Ньютона и момент сил:

			$$
			ma=mg-2T
			$$

			$$
			J\varepsilon=2Tr
			$$

			А так же связь угловой и линейной ускорений:

			$$
			a=\varepsilon r
			$$

			С учетом связи ускорений, получаем:

			$$
			\frac{Ja}{r}=2Tr
			$$

			Выразим $T$:

			$$
			T=\frac{Ja}{2r^2}
			$$

			Подставим полученное выражение в уравнение динамики:

			$$
			ma=mg-\frac{Ja}{r^2}
			$$

			Отсюда:

			$$
			a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}
			$$

			Или как записано в авторском ответе:

			$$
			\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}
			$$

			Подставим полученный ответ в выражение $T$:

			$$
			T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow
			$$

			$$
			\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}
			$$

			Это соответсвует авторскому ответу:

			$$
			\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}
			$$

			#### Ответ

			$$
			a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}
			$$

			$$
			T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}
			$$
		unchanged lines 71

	@@ -1,8 +1,8 @@
	### Условие		### Условие

	$2.7.18.$ На валик радиуса $r$ плотно насажен сплошной диск. Момент инерции этой системы относительно оси $J$, масса $m$. На валик симметрично намотаны две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вертикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения нитей.		$2.7.18.$ На валик радиуса $r$ плотно насажен сплошной диск. Момент инерции этой системы относительно оси $J$, масса $m$. На валик симметрично намотаны две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вертикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения нитей.

	![К задаче $2.7.18$\|606x285, 50%](../../img/2.7.18/2.7.18.png)		![К задаче $2.7.18$\|606x285, 40%](../../img/2.7.18/2.7.18.png)

	#### Решение		#### Решение

	Распишем второй закон Ньютона и момент сил:		Распишем второй закон Ньютона и момент сил:

	$$		$$
	ma=mg-2T		ma=mg-2T
	$$		$$

	$$		$$
	J\varepsilon=2Tr		J\varepsilon=2Tr
	$$		$$

	А так же связь угловой и линейной ускорений:		А так же связь угловой и линейной ускорений:

	$$		$$
	a=\varepsilon r		a=\varepsilon r
	$$		$$

	С учетом связи ускорений, получаем:		С учетом связи ускорений, получаем:

	$$		$$
	\frac{Ja}{r}=2Tr		\frac{Ja}{r}=2Tr
	$$		$$

	Выразим $T$:		Выразим $T$:

	$$		$$
	T=\frac{Ja}{2r^2}		T=\frac{Ja}{2r^2}
	$$		$$

	Подставим полученное выражение в уравнение динамики:		Подставим полученное выражение в уравнение динамики:

	$$		$$
	ma=mg-\frac{Ja}{r^2}		ma=mg-\frac{Ja}{r^2}
	$$		$$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$		$$
	a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}		a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}
	$$		$$

	Или как записано в авторском ответе:		Или как записано в авторском ответе:

	$$		$$
	\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}		\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}
	$$		$$

	Подставим полученный ответ в выражение $T$:		Подставим полученный ответ в выражение $T$:

	$$		$$
	T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow		T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow
	$$		$$

	$$		$$
	\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}		\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}
	$$		$$

	Это соответсвует авторскому ответу:		Это соответсвует авторскому ответу:

	$$		$$
	\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}		\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}		a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}
	$$		$$

	$$		$$
	T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}		T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}
	$$		$$
	unchanged lines 71