| @@ -1,44 +1,34 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $4.4.5.$ [Вставьте описание задачи] |
| | − | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | − | |
| | − | |
| | + | $4.4.5.$ Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную |
| | + | трубку радиуса $R$ и длины $l$. Разность давлений на концах трубки $P$, вязкость |
| | + | жидкости $η$. Определите зависимость от расстояния до стенки трубки: а) градиента скорости жидкости; б∗) скорости жидкости. Определите объем жидкости, |
| | + | перетекающей через эту трубку в единицу времени. |
| | | ### Решение |
| | + | Искомый объем жидкости, перетекающей через трубку в единицу времени описывается законом Пуазёйля |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | $$Q={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}(p_{1}-p_{2})={\frac {\pi d^{4}}{128\eta l}}\Delta p$$ |
| | + | |
| | + | Выведем эту формулу! |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | Выделим цилиндрический объем жидкости. На него действует сила вязкого трения, которая описывается формулой: |
| | + | $$F = - \eta S \frac {dv}{dr} = - \eta |
| | + | 2 \pi r l \frac {dv}{dr}$$ |
| | + | Её уравновешивает результирующая сила давления на торцы выделенного объема |
| | + | $$F_p = \Delta p \pi r^2 = P \pi r^2$$ |
| | + | Приравняем |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | $$- \eta |
| | + | 2 \pi r l \frac {dv}{dr} = P \pi r^2$$ |
| | + | Получаем ответ на первый вопрос: |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | $$ \frac {dv}{dr} = - \frac {rP}{2l \eta} $$ |
| | + | Найдем скорость |
| | + | $$ \int_{0}^{v} \,dv = \int_{R}^{r} - \frac {rP}{2l \eta} \,dr$$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | + | $$v = \frac {P}{4 \eta l} (R^2 - r^2)$$ |
| | + | Найдем общий объем жидкости, перетекающий в единицу времени |
| | + | $$Q = \int_{0}^{R} 2 \pi r v(r) \,dr = \int_{0}^{R} 2 \pi r \frac {P}{4 \eta l} (R^2 - r^2) \,dr = {\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P$$ |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$Q ={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P$$ |
