Edits to “Условие”, “Решение”
ru/4.4.5.md
+6 −7
| @@ -1,14 +1,13 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.4.5.$ Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную | ||
| − | трубку радиуса $R$ и длины $l$. Разность давлений на концах трубки $P$, вязкость | ||
| − | жидкости $\eta $. Определите зависимость от расстояния до стенки трубки: а) градиента скорости жидкости; б∗) скорости жидкости. Определите объем жидкости, | ||
| − | перетекающей через эту трубку в единицу времени. | ||
| + | $4.4.5.$ Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную трубку радиуса $R$ и длины $l$. Разность давлений на концах трубки $P$, вязкость жидкости $\eta $. Определите зависимость от расстояния до стенки трубки: а) градиента скорости жидкости; б∗) скорости жидкости. Определите объем жидкости, перетекающей через эту трубку в единицу времени. | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| + | |||
| Искомый объем жидкости, перетекающей через трубку в единицу времени описывается законом Пуазёйля | |||
| $$ | |||
| − | Q={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}(p_{1}-p_{2})={\frac {\pi d^{4}}{128\eta l}}\Delta p | ||
| + | Q={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}\left(p_{1}-p_{2}\right)={\frac {\pi d^{4}}{128\eta l}}\Delta p | ||
| $$ | |||
| Выведем эту формулу! | |||
| Выделим цилиндрический объем жидкости. На него действует сила вязкого трения, которая описывается формулой: | |||
| $$F = - \eta S \frac {dv}{dr} = - \eta | |||
| 2 \pi r l \frac {dv}{dr}$$ | |||
| Её уравновешивает результирующая сила давления на торцы выделенного объема | |||
| $$ | |||
| F_p = \Delta p \pi r^2 = P \pi r^2 | |||
| $$ | |||
| Приравняем | |||
| $$- \eta | |||
| 2 \pi r l \frac {dv}{dr} = P \pi r^2$$ | |||
| Получаем ответ на первый вопрос: | |||
| $$ | |||
| \frac {dv}{dr} = - \frac {rP}{2l \eta} | |||
| $$ | |||
| Найдем скорость | |||
| $$ | |||
| \int_{0}^{v} \,dv = \int_{R}^{r} - \frac {rP}{2l \eta} \,dr | |||
| @@ -39,13 +38,13 @@Решение | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | v = \frac {P}{4 \eta l} (R^2 - r^2) | ||
| + | v = \frac {P}{4 \eta l} \left(R^2 - r^2\right) | ||
| $$ | |||
| Найдем общий объем жидкости, перетекающий в единицу времени | |||
| $$ | |||
| − | Q = \int_{0}^{R} 2 \pi r v | ||
| + | Q = \int_{0}^{R} 2 \pi r v\left(r\right) \,dr = \int_{0}^{R} 2 \pi r \frac {P}{4 \eta l} \left(R^2 - r^2\right) \,dr = {\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P | ||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| Q ={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 4 | |||
| @@ -1,14 +1,13 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.4.5.$ Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную | $4.4.5.$ Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную трубку радиуса $R$ и длины $l$. Разность давлений на концах трубки $P$, вязкость жидкости $\eta $. Определите зависимость от расстояния до стенки трубки: а) градиента скорости жидкости; б∗) скорости жидкости. Определите объем жидкости, перетекающей через эту трубку в единицу времени. | ||
| трубку радиуса $R$ и длины $l$. Разность давлений на концах трубки $P$, вязкость | |||
| жидкости $\eta $. Определите зависимость от расстояния до стенки трубки: а) градиента скорости жидкости; б∗) скорости жидкости. Определите объем жидкости, | |||
| перетекающей через эту трубку в единицу времени. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Искомый объем жидкости, перетекающей через трубку в единицу времени описывается законом Пуазёйля | Искомый объем жидкости, перетекающей через трубку в единицу времени описывается законом Пуазёйля | ||
| $$ | $$ | ||
| Q={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}(p_{1}-p_{2})={\frac {\pi d^{4}}{128\eta l}}\Delta p | Q={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}\left(p_{1}-p_{2}\right)={\frac {\pi d^{4}}{128\eta l}}\Delta p | ||
| $$ | $$ | ||
| Выведем эту формулу! | Выведем эту формулу! | ||
| Выделим цилиндрический объем жидкости. На него действует сила вязкого трения, которая описывается формулой: | Выделим цилиндрический объем жидкости. На него действует сила вязкого трения, которая описывается формулой: | ||
| $$F = - \eta S \frac {dv}{dr} = - \eta | $$F = - \eta S \frac {dv}{dr} = - \eta | ||
| 2 \pi r l \frac {dv}{dr}$$ | 2 \pi r l \frac {dv}{dr}$$ | ||
| Её уравновешивает результирующая сила давления на торцы выделенного объема | Её уравновешивает результирующая сила давления на торцы выделенного объема | ||
| $$ | $$ | ||
| F_p = \Delta p \pi r^2 = P \pi r^2 | F_p = \Delta p \pi r^2 = P \pi r^2 | ||
| $$ | $$ | ||
| Приравняем | Приравняем | ||
| $$- \eta | $$- \eta | ||
| 2 \pi r l \frac {dv}{dr} = P \pi r^2$$ | 2 \pi r l \frac {dv}{dr} = P \pi r^2$$ | ||
| Получаем ответ на первый вопрос: | Получаем ответ на первый вопрос: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac {dv}{dr} = - \frac {rP}{2l \eta} | \frac {dv}{dr} = - \frac {rP}{2l \eta} | ||
| $$ | $$ | ||
| Найдем скорость | Найдем скорость | ||
| $$ | $$ | ||
| \int_{0}^{v} \,dv = \int_{R}^{r} - \frac {rP}{2l \eta} \,dr | \int_{0}^{v} \,dv = \int_{R}^{r} - \frac {rP}{2l \eta} \,dr | ||
| @@ -39,13 +38,13 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v = \frac {P}{4 \eta l} (R^2 - r^2) | v = \frac {P}{4 \eta l} \left(R^2 - r^2\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| Найдем общий объем жидкости, перетекающий в единицу времени | Найдем общий объем жидкости, перетекающий в единицу времени | ||
| $$ | $$ | ||
| Q = \int_{0}^{R} 2 \pi r v |
Q = \int_{0}^{R} 2 \pi r v\left(r\right) \,dr = \int_{0}^{R} 2 \pi r \frac {P}{4 \eta l} \left(R^2 - r^2\right) \,dr = {\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| Q ={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P | Q ={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 4 | |||