Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Ismail edited
View solution History
revision #12666 newer →
ru/2.7.40.md +23 −39
@@ -1,44 +1,28 @@
### Условие
−$2.7.40.$ [Вставьте описание задачи]
+$2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость
+верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность.
−__Пример условия__:
−$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.
+#### Решение
+Запишем закон сохранения энергии:
+$$\frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2}$$
+Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из инетграла:
+$$\int{x^2dm}$$
+Где приращение массы имеет линейный вид:
+$$dm=\rho dx$$
+Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла:
+$$\rho\int{x^2dx}$$
+Интегрируем в пределах от $0$ до $l$
+$$\rho\frac{l^3}{3}$$
+Если стержнь однородный, то момент инерции выглядит так:
+$$I=\frac{ml^2}{3}$$
+Связь угловой и линейной скоростей:
+$$v=\omega l$$
+Подставим:
+$$\frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2}$$
+$$gl=\frac{v^2}{3}$$
+Получаем ответ:
+$$\boxed{v=\sqrt{3gl}}$$
−
−### Решение
−
−[Здесь должно быть ваше решение]
−
−__Пример решения__:
−Ускорение тела задано как
−
−$$a(t) = bt$$
−
−Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:
−
−$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$
−
−Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:
−
−$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$
−
−Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:
−
−$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$
−
−Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:
−
−$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$
−
−Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:
−
−$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$
−
#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]
−
−
−__Пример ответа__:
−$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$
+$$v=\sqrt{3gl}$$