Edits to “Условие”, “Решение”

astrosander edited Jan 12, 2025, 12:15 AM

View solution History

revision #12719 parent #12666 ← older newer →

ru/2.7.40.md +2 −2

		@@ -1,9 +1,9 @@
			### Условие

		−	$2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость
		−	верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность.
		+	$2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность.

			#### Решение
		+
			Запишем закон сохранения энергии:

			$$
			\frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2}
			$$

			Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из инетграла:

			$$
			\int{x^2dm}
			$$

			Где приращение массы имеет линейный вид:

			$$
			dm=\rho dx
			$$

			Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла:

			$$
			\rho\int{x^2dx}
			$$

			Интегрируем в пределах от $0$ до $l$

			$$
			\rho\frac{l^3}{3}
			$$

			Если стержнь однородный, то момент инерции выглядит так:

			$$
			I=\frac{ml^2}{3}
			$$

			Связь угловой и линейной скоростей:

			$$
			v=\omega l
			$$

			Подставим:

			$$
			\frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2}
			$$

			$$
			gl=\frac{v^2}{3}
			$$

			Получаем ответ:

			$$
			\boxed{v=\sqrt{3gl}}
			$$

			#### Ответ

			$$
			v=\sqrt{3gl}
			$$
		unchanged lines 60

	@@ -1,9 +1,9 @@
	### Условие		### Условие

	$2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость		$2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность.
	верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность.

	#### Решение		#### Решение

	Запишем закон сохранения энергии:		Запишем закон сохранения энергии:

	$$		$$
	\frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2}		\frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2}
	$$		$$

	Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из инетграла:		Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из инетграла:

	$$		$$
	\int{x^2dm}		\int{x^2dm}
	$$		$$

	Где приращение массы имеет линейный вид:		Где приращение массы имеет линейный вид:

	$$		$$
	dm=\rho dx		dm=\rho dx
	$$		$$

	Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла:		Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла:

	$$		$$
	\rho\int{x^2dx}		\rho\int{x^2dx}
	$$		$$

	Интегрируем в пределах от $0$ до $l$		Интегрируем в пределах от $0$ до $l$

	$$		$$
	\rho\frac{l^3}{3}		\rho\frac{l^3}{3}
	$$		$$

	Если стержнь однородный, то момент инерции выглядит так:		Если стержнь однородный, то момент инерции выглядит так:

	$$		$$
	I=\frac{ml^2}{3}		I=\frac{ml^2}{3}
	$$		$$

	Связь угловой и линейной скоростей:		Связь угловой и линейной скоростей:

	$$		$$
	v=\omega l		v=\omega l
	$$		$$

	Подставим:		Подставим:

	$$		$$
	\frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2}		\frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2}
	$$		$$

	$$		$$
	gl=\frac{v^2}{3}		gl=\frac{v^2}{3}
	$$		$$

	Получаем ответ:		Получаем ответ:

	$$		$$
	\boxed{v=\sqrt{3gl}}		\boxed{v=\sqrt{3gl}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	v=\sqrt{3gl}		v=\sqrt{3gl}
	$$		$$
	unchanged lines 60