| @@ -1,44 +1,41 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.41.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.7.41.$ Тонкий стержень массы $m$ и длины $l$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пластилиновый шарик массы $m$ со скоростью $v$, перпендикулярной стержню, ударяется об один из его концов и прилипает к нему. Какое |
| | + | количество теплоты выделится при таком ударе? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | После удара система будет двигаться как и поступательно, так и вращательно. |
| | | |
| | + | Запишем закон сохранения энергии с учетом теплоты: |
| | + | $$\frac{mv^2}{2}=Q+\frac{I\omega^2}{2}+mu^2$$ |
| | + | Закон сохранения импульса: |
| | + | $$mv=2mu$$ |
| | + | Найдем скорость центра масс после удара: |
| | + | $$u=\frac{v}{2}$$ |
| | + | Запишем закон сохранения момента импульса: |
| | + | $$mvx=I\omega$$ |
| | + | Расстояние от конца стержня до центра масс: |
| | + | $$x=\frac{l}{4}$$ |
| | + | Момент инерции стержня относительно нового центра масс, по теореме Штейнера: |
| | + | $$I_c=\frac{ml^2}{12}+mx^2$$ |
| | + | Момент инерции шарика: |
| | + | $$I_ш=mx^2$$ |
| | + | Момент инерции всей системы: |
| | + | $$I=\frac{5ml^2}{24}$$ |
| | + | Подставим: |
| | + | $$\frac{mvl}{4}=\frac{5ml^2}{24}\omega$$ |
| | + | Найдем связь угловой и линейной скоростей: |
| | + | $$\omega l=\frac{6v}{5}$$ |
| | + | Из закона сохранения энергии выразим теплоту: |
| | + | $$\frac{mv^2}{2}-(\frac{I\omega^2}{2}+mu^2)=Q$$ |
| | + | Подставим известные нам выражения: |
| | + | $$\frac{mv^2}{2}-\frac{5m\omega^2l^2}{48}-\frac{mv^2}{4}=Q$$ |
| | + | С учетом связи скоростей: |
| | + | $$\frac{mv^2}{4}-\frac{3mv^2}{20}=Q$$ |
| | + | Получаем ответ: |
| | + | $$\boxed{Q=\frac{1}{10}mv^2}$$ |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | + | $$Q=\frac{1}{10}mv^2$$ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
