Решение

Из закона сохранения импульса и энергии следует, что тела с одинаковой массой при ударе "обмениваются" скоростями, преобретая то же направление. Таким образом, один из концов гантели будет иметь скорость $v_1$ а другая скорость $v_2$. Ко всему прочему, гантели будут вращаться в разых направлениях.

При ударе, у гантель будет вращательное и поступательное движение. Найдем скорость поступательного движения центров гантель. Его можно найти из относиетльной скорости. Остановим гантели так, что бы они вращались на месте, таким образом скорости на разных концах будут равными:
$$v+v_2=v_1-v$$
Найдем скорость центров:
$$v=\frac{v_1-v_2}{2}$$
Найдем связь угловой и линейной скоростей:
$$\frac{\omega l}{2}=v_1-v$$
Подставим скорость центра:
$$\omega l=v_1-\frac{v_1-v_2}{2}$$
Выразим угловую скорость:
$$\omega=\frac{v_1+v_2}{l}$$
Найдем время поворота, с учетом симметрии(угол поврота равен развернутому углу) и относительной угловой скорости:
$$t=\frac{\pi}{\omega+\omega}$$
Подставим:
$$t=\frac{\pi l}{2(v_1+v_2)}$$
Через время $t$ гантели снова ударятся, после чего прекратится, а сами гантели начнцт двигаться поступательно в том направлении и с той же скоростью.