Решение

Направим ось $x$ вправо. Верхний шарик левой гантели и нижний шарик правой находятся на одной горизонтали, поэтому первый удар происходит между ними, причём он центральный.

Первый удар.
Импульс удара горизонтален, то есть перпендикулярен стержням, а невесомый стержень не может передать второму шарику силу, перпендикулярную себе. Поэтому второй шарик каждой гантели в ударе не участвует. Сталкиваются два одинаковых шарика, они обмениваются скоростями: верхний шарик левой гантели приобретает скорость $v_2$ (влево), а нижний шарик правой гантели — скорость $v_1$ (вправо).

В результате у обеих гантелей скорости концов одинаковы: верхний шарик движется влево со скоростью $v_2$, нижний — вправо со скоростью $v_1$.

Скорость центра масс обеих гантелей (направление вправо):
$$v_{c} = \frac{v_1 - v_2}{2}.$$

Скорость каждого шарика относительно центра масс равна $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$, поэтому обе гантели вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью:
$$\omega = \frac{v_1 + v_2}{l}.$$

Второй удар.
Центры масс гантелей движутся с одинаковой скоростью, а вращаются они синхронно. Поэтому центр правой гантели всё время выше центра левой на $l$, и шарики разных гантелей могут совпасть только тогда, когда гантели вертикальны, то есть после поворота на $\pi$, $2\pi, \dots$ Ближайший такой момент — поворот на $\pi$, при котором каждая гантель переворачивается. Тогда нижний шарик левой гантели оказывается наверху и встречается с верхним шариком правой, который оказался внизу. Время до второго удара:
$$t = \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi l}{v_1 + v_2}.$$

При повороте на $\pi$ скорость центра масс не меняется, а вращательная часть скорости меняет знак. Поэтому перед вторым ударом:

• нижний шарик левой гантели (теперь он наверху): $v_c - \dfrac{v_1+v_2}{2} = -v_2$, то есть он летит влево со скоростью $v_2$;
• верхний шарик правой гантели (теперь он внизу): $v_c + \dfrac{v_1+v_2}{2} = v_1$, то есть он летит вправо со скоростью $v_1$.

Шарики летят навстречу друг другу и снова обмениваются скоростями: у шарика левой гантели становится $+v_1$, у шарика правой $-v_2$.

Вторые шарики гантелей в ударе не участвуют. Левый из них (теперь внизу) имеет скорость $v_c + \dfrac{v_1+v_2}{2} = v_1$, а правый (теперь наверху) — $v_c - \dfrac{v_1+v_2}{2} = -v_2$.

Итак, у обоих шариков левой гантели скорость $v_1$ (вправо), а у обоих шариков правой гантели скорость $v_2$ (влево). Вращение обеих гантелей прекращается.

Проверка: суммарный импульс до ударов $2m(v_1 - v_2)$ равен суммарному импульсу после ударов $2mv_1 - 2mv_2$.