Решение

Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2\pi$):

$$n=\frac{\theta }{2\pi }$$

Угол вращения можно найти по формуле:

$$\theta =\frac{\omega ^2}{2\varepsilon }$$

Где $\varepsilon$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил:

$$I\varepsilon =\mu N_xR+\mu N_yR$$

Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона:

$$N_y=mg-\mu N_x$$

$$N_x=\mu N_y$$

Получаем:

$$N_y=\frac{mg}{1+\mu ^2}$$

$$N_x=\frac{\mu mg}{1+\mu ^2}$$

Момент инерции сплошного цилиндра:

$$I=\frac{mR^2}{2}$$

Подставим в уравнение момента сил и найдем $\varepsilon$:

$$\varepsilon =\frac{2\mu g(1+\mu ^2)}{R(1+\mu )}$$

Найдем угол вращения $\theta$:

$$\theta =\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{4\mu g(1+\mu )}$$

Отсюда:

$$\boxed{x=\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{8\pi \mu g(1+\mu )}}$$