Edits to “Условие”, “Решение”

astrosander edited Jan 12, 2025, 12:29 AM

View solution History

revision #12731 parent #12642 ← older

ru/2.6.28.md +2 −4

		@@ -1,12 +1,10 @@
			### Условие

		−	$2.6.28.$ Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии
		−	от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно
		−	включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку $(5g)$, чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны
		−	около $1700$ км, ускорение свободного падения на ее поверхности в $6$ раз меньше,
		+	$2.6.28.$ Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку $(5g)$, чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны около $1700$ км, ускорение свободного падения на ее поверхности в $6$ раз меньше,
			чем на поверхности Земли.

			#### Решение
		+
			Запишем закон сохранения энергии до запуска двигателя:

			$$
			0=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r+h}
			$$

			Работа тяги совершенная двигателем будет равна произведению силы тяги на перемещение, а так же сумме изменений кинетической и потенциальной энергии:

			$$
			A_T=-5mgh
			$$

			$$
			A_T=\Delta K+\Delta U
			$$

			Изменения кинетической и потенциальной энергий это разница между конечным и начальным состояниями:

			$$
			\Delta K=0-\frac{mv^2}{2}
			$$

			$$
			\Delta U=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{r+h}
			$$

			Подставим:

			$$
			-5mgh=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMmh}{r(r+h)}
			$$

			Учитываем самое первое уравнение сохранения энергии, сокращаем минусы и массу $m$:

			$$
			5gh=\frac{GM}{r+h}+\frac{GMh}{r(r+h)}\Rightarrow
			$$

			$$
			\Rightarrow 5gh=\frac{GM}{r}
			$$

			Из условия задачи мы знаем, что:

			$$
			\frac{g}{6}=\frac{GM}{r^2}
			$$

			Подставим это:

			$$
			5gh=\frac{gr}{6}\Rightarrow
			$$

			$$
			\Rightarrow h=\frac{r}{30}
			$$

			$$
			\boxed{h\approx 57км}
			$$

			#### Ответ

			$$
			h\approx 57км
			$$
		unchanged lines 64

	@@ -1,12 +1,10 @@
	### Условие		### Условие

	$2.6.28.$ Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии		$2.6.28.$ Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку $(5g)$, чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны около $1700$ км, ускорение свободного падения на ее поверхности в $6$ раз меньше,
	от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно
	включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку $(5g)$, чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны
	около $1700$ км, ускорение свободного падения на ее поверхности в $6$ раз меньше,
	чем на поверхности Земли.		чем на поверхности Земли.

	#### Решение		#### Решение

	Запишем закон сохранения энергии до запуска двигателя:		Запишем закон сохранения энергии до запуска двигателя:

	$$		$$
	0=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r+h}		0=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r+h}
	$$		$$

	Работа тяги совершенная двигателем будет равна произведению силы тяги на перемещение, а так же сумме изменений кинетической и потенциальной энергии:		Работа тяги совершенная двигателем будет равна произведению силы тяги на перемещение, а так же сумме изменений кинетической и потенциальной энергии:

	$$		$$
	A_T=-5mgh		A_T=-5mgh
	$$		$$

	$$		$$
	A_T=\Delta K+\Delta U		A_T=\Delta K+\Delta U
	$$		$$

	Изменения кинетической и потенциальной энергий это разница между конечным и начальным состояниями:		Изменения кинетической и потенциальной энергий это разница между конечным и начальным состояниями:

	$$		$$
	\Delta K=0-\frac{mv^2}{2}		\Delta K=0-\frac{mv^2}{2}
	$$		$$

	$$		$$
	\Delta U=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{r+h}		\Delta U=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{r+h}
	$$		$$

	Подставим:		Подставим:

	$$		$$
	-5mgh=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMmh}{r(r+h)}		-5mgh=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMmh}{r(r+h)}
	$$		$$

	Учитываем самое первое уравнение сохранения энергии, сокращаем минусы и массу $m$:		Учитываем самое первое уравнение сохранения энергии, сокращаем минусы и массу $m$:

	$$		$$
	5gh=\frac{GM}{r+h}+\frac{GMh}{r(r+h)}\Rightarrow		5gh=\frac{GM}{r+h}+\frac{GMh}{r(r+h)}\Rightarrow
	$$		$$

	$$		$$
	\Rightarrow 5gh=\frac{GM}{r}		\Rightarrow 5gh=\frac{GM}{r}
	$$		$$

	Из условия задачи мы знаем, что:		Из условия задачи мы знаем, что:

	$$		$$
	\frac{g}{6}=\frac{GM}{r^2}		\frac{g}{6}=\frac{GM}{r^2}
	$$		$$

	Подставим это:		Подставим это:

	$$		$$
	5gh=\frac{gr}{6}\Rightarrow		5gh=\frac{gr}{6}\Rightarrow
	$$		$$

	$$		$$
	\Rightarrow h=\frac{r}{30}		\Rightarrow h=\frac{r}{30}
	$$		$$

	$$		$$
	\boxed{h\approx 57км}		\boxed{h\approx 57км}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	h\approx 57км		h\approx 57км
	$$		$$
	unchanged lines 64