Решение

Запишем закон сохранения энергии до запуска двигателя:

$$0=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r+h}$$

Работа тяги совершенная двигателем будет равна произведению силы тяги на перемещение, а так же сумме изменений кинетической и потенциальной энергии:

$$A_T=-5mgh$$

$$A_T=\Delta K+\Delta U$$

Изменения кинетической и потенциальной энергий это разница между конечным и начальным состояниями:

$$\Delta K=0-\frac{mv^2}{2}$$

$$\Delta U=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{r+h}$$

Подставим:

$$-5mgh=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMmh}{r(r+h)}$$

Учитываем самое первое уравнение сохранения энергии, сокращаем минусы и массу $m$:

$$5gh=\frac{GM}{r+h}+\frac{GMh}{r(r+h)}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 5gh=\frac{GM}{r}$$

Из условия задачи мы знаем, что:

$$\frac{g}{6}=\frac{GM}{r^2}$$

Подставим это:

$$5gh=\frac{gr}{6}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow h=\frac{r}{30}$$

$$\boxed{h\approx 57км}$$