Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Anonymous edited
View solution History
revision #12840 newer →
ru/2.2.39.md +44 −39
@@ -1,44 +1,49 @@
### Условие
−$2.2.39.$ [Вставьте описание задачи]
+$2.2.39.$ Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $ρ_0$. Поршень, на который действует постоянная сила $F$, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности ρ. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение
+вещества происходит скачком, т. е. в трубе перемещается с некоторой скоростью
+граница раздела, справа от которой плотность вещества $ρ$, а слева — $ρ_0$? В
+начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня.
−__Пример условия__:
−$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.
+#### Решение
+Запишем зависимость плотсноти вещества от пройденного поршнем расстояния
+$$
+\rho(x)=\frac{\rho_0a}{x}
+$$
+Запишем отношение плотностей в начале и конце в виде отношения их длин:
+$$
+\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{a}{b}
+$$
+Полный путь который пройдет
+$$
+x=a-b=a(1-\frac{\rho_0}{\rho})
+$$
+Запишем закон изменения импульса для уже сжатой ччасти вещества:
+$$
+Fdt=\rho(a-b)Sdx*v
+$$
+Кинематическое соображение:
+$$
+\frac{dx}{dt}=v
+$$
+Поделим обе части уравнения на $dt$:
+$$
+F=\rho(a-b)Sv^2
+$$
+Подставим плотность:
+$$
+F=\frac{\rho_0a}{a(\frac{\rho-\rho_0}{\rho})}Sv^2
+$$
+Выразим квадрат скорости:
+$$
+v^2=\frac{F(\rho-\rho_0)}{S\rho\rho_0}
+$$
+Подставим площадь и возьмем уравнение под корень, получив ответ:
+$$
+\boxed{v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}}
+$$
−
−### Решение
−
−[Здесь должно быть ваше решение]
−
−__Пример решения__:
−Ускорение тела задано как
−
−$$a(t) = bt$$
−
−Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:
−
−$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$
−
−Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:
−
−$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$
−
−Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:
−
−$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$
−
−Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:
−
−$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$
−
−Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:
−
−$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$
−
#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]
−
−
−__Пример ответа__:
−$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$
+$$
+v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}
+$$