Edit to “Условие”

Anonymous edited Jan 16, 2025, 8:05 AM

View solution History

revision #12841 parent #12840 ← older

ru/2.2.39.md +1 −1

		@@ -1,6 +1,6 @@
			### Условие

		−	$2.2.39.$ Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $ρ_0$. Поршень, на который действует постоянная сила $F$, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности ρ. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение
		+	$2.2.39.$ Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $ρ_0$. Поршень, на который действует постоянная сила $F$, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности $ρ$. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение
			вещества происходит скачком, т. е. в трубе перемещается с некоторой скоростью
			граница раздела, справа от которой плотность вещества $ρ$, а слева — $ρ_0$? В
			начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня.

			#### Решение
			Запишем зависимость плотсноти вещества от пройденного поршнем расстояния
			$$
			\rho(x)=\frac{\rho_0a}{x}
			$$
			Запишем отношение плотностей в начале и конце в виде отношения их длин:
			$$
			\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{a}{b}
			$$
			Полный путь который пройдет
			$$
			x=a-b=a(1-\frac{\rho_0}{\rho})
			$$
			Запишем закон изменения импульса для уже сжатой ччасти вещества:
			$$
			Fdt=\rho(a-b)Sdx*v
			$$
			Кинематическое соображение:
			$$
			\frac{dx}{dt}=v
			$$
			Поделим обе части уравнения на $dt$:
			$$
			F=\rho(a-b)Sv^2
			$$
			Подставим плотность:
			$$
			F=\frac{\rho_0a}{a(\frac{\rho-\rho_0}{\rho})}Sv^2
			$$
			Выразим квадрат скорости:
			$$
			v^2=\frac{F(\rho-\rho_0)}{S\rho\rho_0}
			$$
			Подставим площадь и возьмем уравнение под корень, получив ответ:
			$$
			\boxed{v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}}
			$$

			#### Ответ
			$$
			v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}
			$$
		unchanged lines 43

	@@ -1,6 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$2.2.39.$ Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $ρ_0$. Поршень, на который действует постоянная сила $F$, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности ρ. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение		$2.2.39.$ Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $ρ_0$. Поршень, на который действует постоянная сила $F$, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности $ρ$. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение
	вещества происходит скачком, т. е. в трубе перемещается с некоторой скоростью		вещества происходит скачком, т. е. в трубе перемещается с некоторой скоростью
	граница раздела, справа от которой плотность вещества $ρ$, а слева — $ρ_0$? В		граница раздела, справа от которой плотность вещества $ρ$, а слева — $ρ_0$? В
	начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня.		начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня.

	#### Решение		#### Решение
	Запишем зависимость плотсноти вещества от пройденного поршнем расстояния		Запишем зависимость плотсноти вещества от пройденного поршнем расстояния
	$$		$$
	\rho(x)=\frac{\rho_0a}{x}		\rho(x)=\frac{\rho_0a}{x}
	$$		$$
	Запишем отношение плотностей в начале и конце в виде отношения их длин:		Запишем отношение плотностей в начале и конце в виде отношения их длин:
	$$		$$
	\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{a}{b}		\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{a}{b}
	$$		$$
	Полный путь который пройдет		Полный путь который пройдет
	$$		$$
	x=a-b=a(1-\frac{\rho_0}{\rho})		x=a-b=a(1-\frac{\rho_0}{\rho})
	$$		$$
	Запишем закон изменения импульса для уже сжатой ччасти вещества:		Запишем закон изменения импульса для уже сжатой ччасти вещества:
	$$		$$
	Fdt=\rho(a-b)Sdx*v		Fdt=\rho(a-b)Sdx*v
	$$		$$
	Кинематическое соображение:		Кинематическое соображение:
	$$		$$
	\frac{dx}{dt}=v		\frac{dx}{dt}=v
	$$		$$
	Поделим обе части уравнения на $dt$:		Поделим обе части уравнения на $dt$:
	$$		$$
	F=\rho(a-b)Sv^2		F=\rho(a-b)Sv^2
	$$		$$
	Подставим плотность:		Подставим плотность:
	$$		$$
	F=\frac{\rho_0a}{a(\frac{\rho-\rho_0}{\rho})}Sv^2		F=\frac{\rho_0a}{a(\frac{\rho-\rho_0}{\rho})}Sv^2
	$$		$$
	Выразим квадрат скорости:		Выразим квадрат скорости:
	$$		$$
	v^2=\frac{F(\rho-\rho_0)}{S\rho\rho_0}		v^2=\frac{F(\rho-\rho_0)}{S\rho\rho_0}
	$$		$$
	Подставим площадь и возьмем уравнение под корень, получив ответ:		Подставим площадь и возьмем уравнение под корень, получив ответ:
	$$		$$
	\boxed{v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}}		\boxed{v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ
	$$		$$
	v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}		v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}
	$$		$$
	unchanged lines 43