Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.3.36.md
+28 −38
| @@ -1,44 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.3.36.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $2.3.36.$ Длина пробега частицы массы $m$ пропорциональна ее начальному импульсу, если тормозящая частицу сила пропорциональна ее скорости (см. | ||
| + | предыдущую задачу). Убедитесь в этом и при заданном $α (l = αp)$, найдите работу тормозящей силы на пути $x$ для частицы, масса которой $m$, а начальный | ||
| + | импульс $p$. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | |||
| + | #### Решение | ||
| + | Запишем зависимость силы в двух формах(см. https://savchenkosolutions.com/ru/2.3.35) | ||
| + | $$ | ||
| + | F=\frac{l}{m\alpha^2}=\frac{p}{m\alpha} | ||
| + | $$ | ||
| + | Возьмем производную силы (первой форме уравнения), $l$ здесь переменная: | ||
| + | $$ | ||
| + | dF=\frac{dx}{m\alpha^2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Работу переменной силы можно найти по интегралу вида $\int udv=uv-\int vdu$, т.к. работа силы по определению есть произведение силы на перемещение, а из-за непостоянства силы, появялется малое изменение $du$, который не входит в определние работы. Если посмотреть на график, то мы имеем две независимые друг от друга функции, и мы должны найти площадь под графиком функции силы, отнимая площадь под графиком расстояния. | ||
| + | Запишем работу: | ||
| + | $$ | ||
| + | A=-\int{Fdx}=-(Fx-\int{xdF}) | ||
| + | $$ | ||
| + | Знак минус обусловлен обратным движению направлением. Вместо силы подставим силу в импульсной форме, а производную силы в форме зависимости от расстояния. | ||
| + | $$ | ||
| + | A=\int\frac{xdx}{m\alpha^2}-\frac{px}{m\alpha} | ||
| + | $$ | ||
| + | Проинтегрировав получим нужный нам ответ: | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{A=\frac{x^2}{2m\alpha^2}-\frac{px}{m\alpha}} | ||
| + | $$ | ||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | |||
| + | $$ | ||
| + | A=\frac{x^2}{2m\alpha^2}-\frac{px}{m\alpha} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,44 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.3.36.$ [Вставьте описание задачи] | $2.3.36.$ Длина пробега частицы массы $m$ пропорциональна ее начальному импульсу, если тормозящая частицу сила пропорциональна ее скорости (см. | ||
| предыдущую задачу). Убедитесь в этом и при заданном $α (l = αp)$, найдите работу тормозящей силы на пути $x$ для частицы, масса которой $m$, а начальный | |||
| импульс $p$. | |||
| __Пример условия__: | #### Решение | ||
| Запишем зависимость силы в двух формах(см. https://savchenkosolutions.com/ru/2.3.35) | |||
| $$ | |||
| F=\frac{l}{m\alpha^2}=\frac{p}{m\alpha} | |||
| $$ | |||
| Возьмем производную силы (первой форме уравнения), $l$ здесь переменная: | |||
| $$ | |||
| dF=\frac{dx}{m\alpha^2} | |||
| $$ | |||
| Работу переменной силы можно найти по интегралу вида $\int udv=uv-\int vdu$, т.к. работа силы по определению есть произведение силы на перемещение, а из-за непостоянства силы, появялется малое изменение $du$, который не входит в определние работы. Если посмотреть на график, то мы имеем две независимые друг от друга функции, и мы должны найти площадь под графиком функции силы, отнимая площадь под графиком расстояния. | |||
| Запишем работу: | |||
| $$ | |||
| A=-\int{Fdx}=-(Fx-\int{xdF}) | |||
| $$ | |||
| Знак минус обусловлен обратным движению направлением. Вместо силы подставим силу в импульсной форме, а производную силы в форме зависимости от расстояния. | |||
| $$ | |||
| A=\int\frac{xdx}{m\alpha^2}-\frac{px}{m\alpha} | |||
| $$ | |||
| Проинтегрировав получим нужный нам ответ: | |||
| $$ | |||
| \boxed{A=\frac{x^2}{2m\alpha^2}-\frac{px}{m\alpha}} | |||
| $$ | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | A=\frac{x^2}{2m\alpha^2}-\frac{px}{m\alpha} | ||
| $$ | |||
| __Пример ответа__: | |||