Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.3.45.md
+37 −38
| @@ -1,44 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.3.45.$ | ||
| + | $2.3.45.$ Тело массы $m$ падает с высоты $h$ на стоящую вертикально на полу | ||
| + | пружину жесткости $k$ и длины $l$. Определите максимальную силу давления на | ||
| + | пол. Объясните, почему при увеличении жесткости пружины эта сила возрастает. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + |  | ||
| + | #### Решение | ||
| + | Сила давления на пол равна силе упрогости: | ||
| + | $$ | ||
| + | F=k\Delta x | ||
| + | $$ | ||
| + | Запишем закон сохранения энергии: | ||
| + | $$ | ||
| + | mgh=mg(l-\Delta x)+\frac{k\Delta x^2}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Получим квадратное уравнение для изменения длинв пружины: | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{k\Delta x^2}{2}-mg\Delta x-mg(h-l) | ||
| + | $$ | ||
| + | При решении получим такое выражение: | ||
| + | $$ | ||
| + | \Delta x=\frac{mg\pm\sqrt{mg(mg+2k(h-l))}}{k} | ||
| + | $$ | ||
| + | С учетом того, что расстояние не может быть отрицательным, правильный ответ со знаком плюс переде дискриминантом: | ||
| + | $$ | ||
| + | \Delta x=\frac{mg\+\sqrt{mg(mg+2k(h-l))}}{k} | ||
| + | $$ | ||
| + | Подставив в силу это выражение, получим: | ||
| + | $$ | ||
| + | F=mg\+\sqrt{mg(mg+2k(h-l))} | ||
| + | $$ | ||
| + | Или же равносильный авторский ответ: | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{F = mg(1 + \sqrt{1 + 2k(h − l)/(mg) })} | ||
| + | $$ | ||
| + | Как видно из ответа, зависимость силы от жесткости прямая корневая, т.е. сила будет увеличеваться с увилечением жесткости, хоть и не линейно. | ||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | F = mg(1 + \sqrt{1 + 2k(h − l)/(mg) }) | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,44 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.3.45.$ |
$2.3.45.$ Тело массы $m$ падает с высоты $h$ на стоящую вертикально на полу | ||
| пружину жесткости $k$ и длины $l$. Определите максимальную силу давления на | |||
| пол. Объясните, почему при увеличении жесткости пружины эта сила возрастает. | |||
| __Пример условия__: |  | ||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| #### Решение | |||
| Сила давления на пол равна силе упрогости: | |||
| $$ | |||
| F=k\Delta x | |||
| $$ | |||
| Запишем закон сохранения энергии: | |||
| $$ | |||
| mgh=mg(l-\Delta x)+\frac{k\Delta x^2}{2} | |||
| $$ | |||
| Получим квадратное уравнение для изменения длинв пружины: | |||
| $$ | |||
| \frac{k\Delta x^2}{2}-mg\Delta x-mg(h-l) | |||
| $$ | |||
| При решении получим такое выражение: | |||
| $$ | |||
| \Delta x=\frac{mg\pm\sqrt{mg(mg+2k(h-l))}}{k} | |||
| $$ | |||
| С учетом того, что расстояние не может быть отрицательным, правильный ответ со знаком плюс переде дискриминантом: | |||
| $$ | |||
| \Delta x=\frac{mg\+\sqrt{mg(mg+2k(h-l))}}{k} | |||
| $$ | |||
| Подставив в силу это выражение, получим: | |||
| $$ | |||
| F=mg\+\sqrt{mg(mg+2k(h-l))} | |||
| $$ | |||
| Или же равносильный авторский ответ: | |||
| $$ | |||
| \boxed{F = mg(1 + \sqrt{1 + 2k(h − l)/(mg) })} | |||
| $$ | |||
| Как видно из ответа, зависимость силы от жесткости прямая корневая, т.е. сила будет увеличеваться с увилечением жесткости, хоть и не линейно. | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | F = mg(1 + \sqrt{1 + 2k(h − l)/(mg) }) | ||
| $$ | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||