Edits to “Условие”, “Решение”

Ismail edited
View solution History
revision #12941 parent #12940 ← older
ru/2.4.23.md +52 −28
@@ -1,44 +1,68 @@
### Условие
−$2.4.23.$ [Вставьте описание задачи]
+$2.4.23.$ Полная кинетическая энергия системы частиц складывается из энергии движения центра масс и кинетической энергии движения частиц системы
+относительно центра масс (внутренней кинетической энергии). Докажите это.
−__Пример условия__:
−$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.
+#### Решение
+Данная задача требует доказательства теоремы Кёнига, определение которой написано в условии.
−### Решение
+Пусть система состоит из $N$ частиц с массами $m_1, m_2, \dots, m_N$.
−[Здесь должно быть ваше решение]
+Скорость центра масс $\mathbf{V}$ можно выразить как:
+$$
+\mathbf{V} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i.
+$$
−__Пример решения__:
−Ускорение тела задано как
+Полная кинетическая энергия системы частиц определяется как сумма кинетических энергий всех частиц:
+$$
+T_{\text{пол}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i^2.
+$$
−$$a(t) = bt$$
+Теперь разложим скорость каждой частицы $\mathbf{v}_i$ на две составляющие:
+$$
+\mathbf{v}_i = \mathbf{V} + \mathbf{v}_i',
+$$
+где $ \mathbf{V} $ — это скорость центра масс, а $\mathbf{v}_i'$ — скорость частицы относительно центра масс.
−Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:
+Подставим это разложение в выражение для кинетической энергии каждой частицы:
+$$
+\mathbf{v}_i^2 = (\mathbf{V} + \mathbf{v}_i')^2 = \mathbf{V}^2 + 2 \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' + \mathbf{v}_i'^2.
+$$
−$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$
+Тогда полная кинетическая энергия системы будет:
+$$
+T_{\text{пол}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \left( \mathbf{V}^2 + 2 \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' + \mathbf{v}_i'^2 \right).
+$$
+Разделим это выражение на три части:
+$$
+T_{\text{пол}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{V}^2 + \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' + \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i'^2.
+$$
−Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:
+1. Первая часть:
+$$
+\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{V}^2 = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{N} m_i \right) \mathbf{V}^2 = \frac{1}{2} M \mathbf{V}^2,
+$$
+где $M$ — общая масса системы.
−$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$
+2. Вторая часть:
+$$
+\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' = \mathbf{V} \cdot \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i'.
+$$
+Так как $ \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i' = 0 $ (это свойство центра масс), то эта часть равна нулю:
+$$
+\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' = 0.
+$$
−Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:
+3. Третья часть — это внутренняя кинетическая энергия системы, которая выражается как сумма кинетических энергий частиц относительно центра масс:
+$$
+\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i'^2.
+$$
−$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$
+Таким образом, полная кинетическая энергия системы равна:
+$$
+T_{\text{пол}} = \frac{1}{2} M \mathbf{V}^2 + \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i'^2.
+$$
−Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:
+Авторский ответ так же справедлив. Данное решение лишь является более наглядным доказательством.
−$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$
−
−Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:
−
−$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$
−
−#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]
−
−
−__Пример ответа__:
−$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$