Решение

Данная задача требует доказательства теоремы Кёнига, определение которой написано в условии.

Пусть система состоит из $N$ частиц с массами $m_1, m_2, \dots, m_N$.

Скорость центра масс $\mathbf{V}$ можно выразить как:
$$\mathbf{V} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i.$$

Полная кинетическая энергия системы частиц определяется как сумма кинетических энергий всех частиц:
$$T_{\text{пол}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i^2.$$

Теперь разложим скорость каждой частицы $\mathbf{v}_i$ на две составляющие:
$$\mathbf{v}_i = \mathbf{V} + \mathbf{v}_i',$$
где $\mathbf{V}$ — это скорость центра масс, а $\mathbf{v}_i'$ — скорость частицы относительно центра масс.

Подставим это разложение в выражение для кинетической энергии каждой частицы:
$$\mathbf{v}_i^2 = (\mathbf{V} + \mathbf{v}_i')^2 = \mathbf{V}^2 + 2 \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' + \mathbf{v}_i'^2.$$

Тогда полная кинетическая энергия системы будет:
$$T_{\text{пол}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \left( \mathbf{V}^2 + 2 \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' + \mathbf{v}_i'^2 \right).$$
Разделим это выражение на три части:
$$T_{\text{пол}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{V}^2 + \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' + \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i'^2.$$

1. Первая часть:
   $$\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{V}^2 = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{N} m_i \right) \mathbf{V}^2 = \frac{1}{2} M \mathbf{V}^2,$$
   где $M$ — общая масса системы.

2. Вторая часть:
   $$\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' = \mathbf{V} \cdot \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i'.$$
   Так как $\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i' = 0$ (это свойство центра масс), то эта часть равна нулю:
   $$\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{V} \cdot \mathbf{v}_i' = 0.$$

3. Третья часть — это внутренняя кинетическая энергия системы, которая выражается как сумма кинетических энергий частиц относительно центра масс:
   $$\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i'^2.$$

Таким образом, полная кинетическая энергия системы равна:
$$T_{\text{пол}} = \frac{1}{2} M \mathbf{V}^2 + \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i'^2.$$

Авторский ответ так же справедлив. Данное решение лишь является более наглядным доказательством.