Решение

Период малых йолебаний можно записать как:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1}$$

где $\alpha$ — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, $\beta$ — коэффициент, связанный с кинетической энергией.

$$E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2}$$

где $x$ — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, $x'$ — смещение уровня жидкости в другой части сосуда.

Условие несжимаемости жидкости

$$S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3}$$

Тогда кинетическая энергия

$$E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4}$$

Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией

$$\beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5}$$

Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости:

$$E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5}$$

где:

$$m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6}$$

подставляем в $(5)$

$$E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7}$$

Отсюда:

$$\alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8}$$

Подставляя найденные значения $\alpha$ и $\beta$ в уравнение периода $(1)$, получаем:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9}$$