Edit to “Решение”

Anonymous edited Jan 21, 2025, 4:14 PM

View solution History

revision #12947 parent #12593 ← older

ru/3.2.34.md +1 −1

			### Условие:

			$3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$.

			![К задаче $3.2.34$\|275x529, 12%](../../img/3.2.34/3.2.34.png)
		@@ -6,7 +6,7 @@Условие:

			### Решение:

		−	Период малых колебаний можно записать как:
		+	Период малых йолебаний можно записать как:

			$$
			T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1}
			$$

			где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией.

			$$
			E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2}
			$$

			где \( x \) — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, \( x' \) — смещение уровня жидкости в другой части сосуда.

			Условие несжимаемости жидкости

			$$
			S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3}
			$$

			Тогда кинетическая энергия

			$$
			E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4}
			$$

			Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией

			$$
			\beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5}
			$$

			Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости:

			$$
			E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5}
			$$

			где:

			$$
			m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6}
			$$

			подставляем в $(5)$

			$$
			E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7}
			$$

			Отсюда:

			$$
			\alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8}
			$$

			Подставляя найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в уравнение периода $(1)$, получаем:

			$$
			T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9}
			$$

			#### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$.
		unchanged lines 59

	### Условие:		### Условие:

	$3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$.		$3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$.

	![К задаче $3.2.34$\|275x529, 12%](../../img/3.2.34/3.2.34.png)		![К задаче $3.2.34$\|275x529, 12%](../../img/3.2.34/3.2.34.png)
	@@ -6,7 +6,7 @@Условие:

	### Решение:		### Решение:

	Период малых колебаний можно записать как:		Период малых йолебаний можно записать как:

	$$		$$
	T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1}		T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1}
	$$		$$

	где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией.		где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией.

	$$		$$
	E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2}		E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2}
	$$		$$

	где \( x \) — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, \( x' \) — смещение уровня жидкости в другой части сосуда.		где \( x \) — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, \( x' \) — смещение уровня жидкости в другой части сосуда.

	Условие несжимаемости жидкости		Условие несжимаемости жидкости

	$$		$$
	S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3}		S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3}
	$$		$$

	Тогда кинетическая энергия		Тогда кинетическая энергия

	$$		$$
	E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4}		E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4}
	$$		$$

	Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией		Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией

	$$		$$
	\beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5}		\beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5}
	$$		$$

	Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости:		Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости:

	$$		$$
	E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5}		E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5}
	$$		$$

	где:		где:

	$$		$$
	m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6}		m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6}
	$$		$$

	подставляем в $(5)$		подставляем в $(5)$

	$$		$$
	E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7}		E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7}
	$$		$$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$		$$
	\alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8}		\alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8}
	$$		$$

	Подставляя найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в уравнение периода $(1)$, получаем:		Подставляя найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в уравнение периода $(1)$, получаем:

	$$		$$
	T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9}		T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9}
	$$		$$

	#### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$.		#### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$.
	unchanged lines 59