Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.13.md
+13 −24
| @@ -1,44 +1,33 @@ | |||
| − | ### | ||
| + | ### Условие | ||
| − | $3.5.13.$ [Insert problem description here] | ||
| + | $3.5.13.$ Покажите что если затухающие колебания осциллятора происходят по закону $x_{1} = x_{1}(t)$$ v_{1} = v_{1}(t)$, то колебания такого же осциллятора с начальными условиями $x_{2}(0) = nx_{1}(0)$, $v_{2}(0) = nv_{1}(0)$ происходят по закону $x_{2}(t) = nx_{1}(t)$. | ||
| − | __Example Statement__: | ||
| − | $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | ||
| − | ### Solution | ||
| − | [Your solution should be placed here] | ||
| + | ### Решение | ||
| − | __Example Solution__: | ||
| − | The acceleration of the body defined by | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | We know that acceleration is the time derivative of velocity: | ||
| + | $$x_{1}=x_{1}(t)$$ | ||
| + | $$v_{1}=x_{1}'(t)$$ | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | ||
| − | $$ | ||
| + | Введем замену $y = nx_{1}(t)$, тогда: | ||
| + | $$y' = nx_{1}'(t) = nv_{1}(t)$$ | ||
| − | If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | ||
| + | Заметим, что введённая нами замена удовлетворяет следующим соотношениям: | ||
| + | $$y = x_{2}(t)$$ | ||
| + | $$y' = x_{2}'(t)=v_{2}(t)$$ | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| + | Линейная замена $x = y/n$ есть ни что иное, как растяжение (или сжатие) координатной сетки. Т.е. $x_{1} -> x_{2}$ с точностью до масштаба, а значит вид решения не изменится. | ||
| − | Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | ||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | #### Answer | ||
| − | [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | ||
| + | #### Ответ | ||
| − | |||
| − | __Example Answer__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | Что и требовалось доказать | ||
| @@ -1,44 +1,33 @@ | |||
| ### |
### Условие | ||
| $3.5.13.$ [Insert problem description here] | $3.5.13.$ Покажите что если затухающие колебания осциллятора происходят по закону $x_{1} = x_{1}(t)$$ v_{1} = v_{1}(t)$, то колебания такого же осциллятора с начальными условиями $x_{2}(0) = nx_{1}(0)$, $v_{2}(0) = nv_{1}(0)$ происходят по закону $x_{2}(t) = nx_{1}(t)$. | ||
| __Example Statement__: | |||
| $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | |||
| ### Solution | |||
| [Your solution should be placed here] | ### Решение | ||
| __Example Solution__: | |||
| The acceleration of the body defined by | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| We know that acceleration is the time derivative of velocity: | $$x_{1}=x_{1}(t)$$ | ||
| $$v_{1}=x_{1}'(t)$$ | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | |||
| $$ |
Введем замену $y = nx_{1}(t)$, тогда: | ||
| $$y' = nx_{1}'(t) = nv_{1}(t)$$ | |||
| If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | Заметим, что введённая нами замена удовлетворяет следующим соотношениям: | ||
| $$y = x_{2}(t)$$ | |||
| $$y' = x_{2}'(t)=v_{2}(t)$$ | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | Линейная замена $x = y/n$ есть ни что иное, как растяжение (или сжатие) координатной сетки. Т.е. $x_{1} -> x_{2}$ с точностью до масштаба, а значит вид решения не изменится. | ||
| Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Answer | |||
| [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | #### Ответ | ||
| Что и требовалось доказать | |||
| __Example Answer__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||