Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.10.md
+14 −28
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| − | ### | ||
| + | ### Условие | ||
| − | $3.5.10.$ [Insert problem description here] | ||
| + | $3.5.10.$ Пусть кинетическая энергия осциллятора $K = mv^2/2$, а потенциальная $U = kx^2/2$. Покажите, что наличие потерь мощности $N_{п} = bv^2$ эквивалентно наличию добавочной силы $f = -bv$. | ||
| − | __Example Statement__: | ||
| − | $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | ||
| − | ### Solution | ||
| − | [Your solution should be placed here] | ||
| + | ### Решение | ||
| − | __Example Solution__: | ||
| − | The acceleration of the body defined by | ||
| + | В данной задаче есть два способа. Первый способ состоит в том, чтобы продифференцировать закон сохранения энергии по времени. Таким образом, мы получим закон движения тела. Однако наиболее простым доказательством является обратная задача: найдем мощность потерь, вызываемых силой $f$: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\delta A = \vec{f}\cdot\vec{dx}$$ | ||
| − | We know that acceleration is the time derivative of velocity: | ||
| + | С учетом того, что сила направлена против скорости (а значит и перемещения $dx$), получим: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\delta A = bv dx$$ | ||
| − | To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | ||
| + | Провернём хитрый трюк: домножим и разделим правую часть на величину $dt$, равную малому промежутку времени: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\delta A = bv \frac{dx}{dt}dt$$ | ||
| − | If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | ||
| + | Поделим обе части уравнения на величину $dt$, а $\frac{dx}{dt}$ перепишем как $v$: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\frac{\delta A}{dt} = bv^2$$ | ||
| − | Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | ||
| + | $$N_{п}=P = bv^2$$ | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| + | #### Ответ | ||
| − | From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| − | #### Answer | ||
| − | |||
| − | [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Example Answer__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | Что и требовалось доказать. | ||
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| ### |
### Условие | ||
| $3.5.10.$ [Insert problem description here] | $3.5.10.$ Пусть кинетическая энергия осциллятора $K = mv^2/2$, а потенциальная $U = kx^2/2$. Покажите, что наличие потерь мощности $N_{п} = bv^2$ эквивалентно наличию добавочной силы $f = -bv$. | ||
| __Example Statement__: | |||
| $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | |||
| ### Solution | |||
| [Your solution should be placed here] | ### Решение | ||
| __Example Solution__: | В данной задаче есть два способа. Первый способ состоит в том, чтобы продифференцировать закон сохранения энергии по времени. Таким образом, мы получим закон движения тела. Однако наиболее простым доказательством является обратная задача: найдем мощность потерь, вызываемых силой $f$: | ||
| The acceleration of the body defined by | |||
| $$ |
$$\delta A = \vec{f}\cdot\vec{dx}$$ | ||
| We know that acceleration is the time derivative of velocity: | С учетом того, что сила направлена против скорости (а значит и перемещения $dx$), получим: | ||
| $$ |
$$\delta A = bv dx$$ | ||
| To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | Провернём хитрый трюк: домножим и разделим правую часть на величину $dt$, равную малому промежутку времени: | ||
| $$ |
$$\delta A = bv \frac{dx}{dt}dt$$ | ||
| If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | Поделим обе части уравнения на величину $dt$, а $\frac{dx}{dt}$ перепишем как $v$: | ||
| $$ |
$$\frac{\delta A}{dt} = bv^2$$ | ||
| Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | $$N_{п}=P = bv^2$$ | ||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | #### Ответ | ||
| From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | Что и требовалось доказать. | ||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Answer | |||
| [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | |||
| __Example Answer__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||