Решение

Запишем энергию осциллятора в начальный момент времени и в момент времени $\tau$ после начала движения:

$$E_{0} = \frac{m\omega^2}{2} A^2$$

$$E_{1} = \frac{m\omega^2}{2}\frac{A^2}{4}$$

Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому:

$$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$

Затухание амплитуды (и скорости) происходит по закону $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$ (показано в задаче 3.5.15)

Для того, чтобы энергия уменьшилась вдвое, амплитуда должна уменьшиться в $\sqrt2$ раз:

$$A(t) = \frac{A_{0}}{\sqrt2} = A_{0} e^{-\gamma t}$$

Из равенства выше получим:

$$e^{\gamma t} = \sqrt2$$

Возведя в квадрат обе части, имеем:

$$e^{2\gamma t} = 2$$

Из условия задачи мы помним, что за время $\tau$ амплитуда уменьшилась в два раза, т.е.:

$$e^{2\gamma t} = e^{\gamma \tau}$$

Откуда

$$t = \frac{\tau}{2}$$