Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.16.md
+26 −23
| @@ -1,44 +1,47 @@ | |||
| − | ### | ||
| + | ### Условие | ||
| − | $3.5.16.$ [Insert problem description here] | ||
| + | $3.5.16.$ Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время $\tau$ уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое? | ||
| − | __Example Statement__: | ||
| − | $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | ||
| − | ### Solution | ||
| − | [Your solution should be placed here] | ||
| + | ### Решение | ||
| + | Запишем энергию осциллятора в начальный момент времени и в момент времени $\tau$ после начала движения: | ||
| − | __Example Solution__: | ||
| − | The acceleration of the body defined by | ||
| + | $$E_{0} = \frac{m\omega^2}{2} A^2$$ | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | $$E_{1} = \frac{m\omega^2}{2}\frac{A^2}{4}$$ | ||
| − | We know that acceleration is the time derivative of velocity: | ||
| + | Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | ||
| − | To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | ||
| + | Затухание амплитуды (и скорости) происходит по закону $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$ (показано в задаче 3.5.15) | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| + | Для того, чтобы энергия уменьшилась вдвое, амплитуда должна уменьшиться в $\sqrt2$ раз: | ||
| − | If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | ||
| + | $$A(t) = \frac{A_{0}}{\sqrt2} = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| + | Из равенства выше получим: | ||
| − | Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | ||
| + | $$e^{\gamma t} = \sqrt2$$ | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| + | Возведя в квадрат обе части, имеем: | ||
| − | From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | ||
| + | $$e^{2\gamma t} = 2$$ | ||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| + | Из условия задачи мы помним, что за время $\tau$ амплитуда уменьшилась в два раза, т.е.: | ||
| − | #### Answer | ||
| + | $$e^{2\gamma t} = e^{\gamma \tau}$$ | ||
| − | [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | ||
| + | Откуда | ||
| + | $$t = \frac{\tau}{2}$$ | ||
| − | __Example Answer__: | ||
| − | $$ | ||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | ||
| + | |||
| + | $$t = \frac{\tau}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| @@ -1,44 +1,47 @@ | |||
| ### |
### Условие | ||
| $3.5.16.$ [Insert problem description here] | $3.5.16.$ Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время $\tau$ уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое? | ||
| __Example Statement__: | |||
| $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | |||
| ### Solution | |||
| [Your solution should be placed here] | ### Решение | ||
| Запишем энергию осциллятора в начальный момент времени и в момент времени $\tau$ после начала движения: | |||
| __Example Solution__: | $$E_{0} = \frac{m\omega^2}{2} A^2$$ | ||
| The acceleration of the body defined by | |||
| $$a(t) = bt$$ | $$E_{1} = \frac{m\omega^2}{2}\frac{A^2}{4}$$ | ||
| We know that acceleration is the time derivative of velocity: | Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому: | ||
| $$ |
$$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | ||
| To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | Затухание амплитуды (и скорости) происходит по закону $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$ (показано в задаче 3.5.15) | ||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | Для того, чтобы энергия уменьшилась вдвое, амплитуда должна уменьшиться в $\sqrt2$ раз: | ||
| If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | $$A(t) = \frac{A_{0}}{\sqrt2} = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | ||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | Из равенства выше получим: | ||
| Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | $$e^{\gamma t} = \sqrt2$$ | ||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | Возведя в квадрат обе части, имеем: | ||
| From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | $$e^{2\gamma t} = 2$$ | ||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | Из условия задачи мы помним, что за время $\tau$ амплитуда уменьшилась в два раза, т.е.: | ||
| #### Answer | $$e^{2\gamma t} = e^{\gamma \tau}$$ | ||
| [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | Откуда | ||
| $$t = \frac{\tau}{2}$$ | |||
| __Example Answer__: | #### Ответ | ||
| $$ |
|||
| $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | |||
| $$t = \frac{\tau}{2}$$ | |||