Edit to “Решение”
ru/3.5.16.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $3.5.16.$ Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время $\tau$ уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое? | |||
| ### Решение | |||
| Запишем энергию осциллятора в начальный момент времени и в момент времени $\tau$ после начала движения: | |||
| $$E_{0} = \frac{m\omega^2}{2} A^2$$ | |||
| $$E_{1} = \frac{m\omega^2}{2}\frac{A^2}{4}$$ | |||
| Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому: | |||
| @@ -16,7 +16,7 @@Решение | |||
| $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | |||
| − | Затухание амплитуды (и скорости) происходит по закону $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$ (показано в задаче 3.5.15) | ||
| + | Затухание амплитуды (и скорости) происходит по закону $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$ (показано в задаче [3.5.15](3.5.15)) | ||
| Для того, чтобы энергия уменьшилась вдвое, амплитуда должна уменьшиться в $\sqrt2$ раз: | |||
| $$A(t) = \frac{A_{0}}{\sqrt2} = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | |||
| Из равенства выше получим: | |||
| $$e^{\gamma t} = \sqrt2$$ | |||
| Возведя в квадрат обе части, имеем: | |||
| $$e^{2\gamma t} = 2$$ | |||
| Из условия задачи мы помним, что за время $\tau$ амплитуда уменьшилась в два раза, т.е.: | |||
| $$e^{2\gamma t} = e^{\gamma \tau}$$ | |||
| Откуда | |||
| $$t = \frac{\tau}{2}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | |||
| $$t = \frac{\tau}{2}$$ | |||
| unchanged lines 25 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.16.$ Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время $\tau$ уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое? | $3.5.16.$ Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время $\tau$ уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Запишем энергию осциллятора в начальный момент времени и в момент времени $\tau$ после начала движения: | Запишем энергию осциллятора в начальный момент времени и в момент времени $\tau$ после начала движения: | ||
| $$E_{0} = \frac{m\omega^2}{2} A^2$$ | $$E_{0} = \frac{m\omega^2}{2} A^2$$ | ||
| $$E_{1} = \frac{m\omega^2}{2}\frac{A^2}{4}$$ | $$E_{1} = \frac{m\omega^2}{2}\frac{A^2}{4}$$ | ||
| Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому: | Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому: | ||
| @@ -16,7 +16,7 @@Решение | |||
| $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | ||
| Затухание амплитуды (и скорости) происходит по закону $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$ (показано в задаче 3.5.15) | Затухание амплитуды (и скорости) происходит по закону $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$ (показано в задаче [3.5.15](3.5.15)) | ||
| Для того, чтобы энергия уменьшилась вдвое, амплитуда должна уменьшиться в $\sqrt2$ раз: | Для того, чтобы энергия уменьшилась вдвое, амплитуда должна уменьшиться в $\sqrt2$ раз: | ||
| $$A(t) = \frac{A_{0}}{\sqrt2} = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | $$A(t) = \frac{A_{0}}{\sqrt2} = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | ||
| Из равенства выше получим: | Из равенства выше получим: | ||
| $$e^{\gamma t} = \sqrt2$$ | $$e^{\gamma t} = \sqrt2$$ | ||
| Возведя в квадрат обе части, имеем: | Возведя в квадрат обе части, имеем: | ||
| $$e^{2\gamma t} = 2$$ | $$e^{2\gamma t} = 2$$ | ||
| Из условия задачи мы помним, что за время $\tau$ амплитуда уменьшилась в два раза, т.е.: | Из условия задачи мы помним, что за время $\tau$ амплитуда уменьшилась в два раза, т.е.: | ||
| $$e^{2\gamma t} = e^{\gamma \tau}$$ | $$e^{2\gamma t} = e^{\gamma \tau}$$ | ||
| Откуда | Откуда | ||
| $$t = \frac{\tau}{2}$$ | $$t = \frac{\tau}{2}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | $$\frac{E_{0}}{E_{1}}=4$$ | ||
| $$t = \frac{\tau}{2}$$ | $$t = \frac{\tau}{2}$$ | ||
| unchanged lines 25 | |||