| @@ -1,44 +1,50 @@ |
| | − | ### Условие |
| | + | ### Условие |
| | | |
| | − | $3.5.27.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $3.5.27.$ Если Одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой $\omega_{0} = \sqrt{g/l}$. Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут колебания с частотой $\omega = \sqrt{g/l + 2k/m}$. В общем случае движение грузиков естьрезультат наложения этих колебаний: |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | $$x_{1}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) + Acos(\omega t)$$ |
| | | |
| | + | $$x_{2}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) - Acos(\omega t)$$ |
| | | |
| | + | Теперь, рассматривая силу $F_{0}cos(\omega t)$, действующую на левый грузик со стороны пружины как вынуждающую, определите величину $A$ через параметры $F_{0}, m, \omega_{0}, \omega$. Слагаемое $B cos(\omega_{0}t +\phi)$ представляет собой свободное колебание выделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров $B$ и $\phi$? |
| | + | |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | Запишем второй закон Ньютона для левого грузика: |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | $$mx'' = -m\frac{g}{l}x + F_{0}cos(\omega t)$$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | $$x'' = -\omega_{0}^2x + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | Будем искать решение в виде $x = A cos(\omega t)$. Более подробно о причинах такого "манёвра" можно узнать в решении 3.5.26. |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | Найдём вторую производную по времени: |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | $$x'' = -\omega^2A cos(\omega t)$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | Подставим $x''$ и $x$ во второй закон Ньютона: |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | $$-\omega^2A cos(\omega t) = -\omega_{0}^2 A cos(\omega t) + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | Косинус сокращается, и мы получаем следующее выражение для $A$: |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | + | $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ |
| | | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | + | Коэффициенты $\phi$ и $B$ нужно получить из начальных условий: |
| | | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | + | $$x(0) = x_{0}$$ |
| | | |
| | + | $$x'(0) = v_{0}$$ |
| | + | |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | + | $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ |
| | | |
| | + | $$x(0) = x_{0}$$ |
| | | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$x'(0) = v_{0}$$ |
| | + | |
| | + | Идея решения этой задачи аналогична 3.5.26. Крайне советую с ним ознакомиться. |
| | + | |
