Edit to “Условие”
ru/3.5.27.md
+1 −1
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.27.$ Если Одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой $\omega_{0} = \sqrt{g/l}$. Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут колебания с частотой $\omega = \sqrt{g/l + 2k/m}$. В общем случае движение грузиков естьрезультат наложения этих колебаний: | ||
| + | $3.5.27.$ Если Одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой $\omega_{0} = \sqrt{g/l}$. Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут колебания с частотой $\omega = \sqrt{g/l + 2k/m}$. В общем случае движение грузиков есть результат наложения этих колебаний: | ||
| $$x_{1}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) + Acos(\omega t)$$ | |||
| $$x_{2}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) - Acos(\omega t)$$ | |||
| Теперь, рассматривая силу $F_{0}cos(\omega t)$, действующую на левый грузик со стороны пружины как вынуждающую, определите величину $A$ через параметры $F_{0}, m, \omega_{0}, \omega$. Слагаемое $B cos(\omega_{0}t +\phi)$ представляет собой свободное колебание выделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров $B$ и $\phi$? | |||
| ### Решение | |||
| Запишем второй закон Ньютона для левого грузика: | |||
| $$mx'' = -m\frac{g}{l}x + F_{0}cos(\omega t)$$ | |||
| $$x'' = -\omega_{0}^2x + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ | |||
| Будем искать решение в виде $x = A cos(\omega t)$. Более подробно о причинах такого "манёвра" можно узнать в решении 3.5.26. | |||
| Найдём вторую производную по времени: | |||
| $$x'' = -\omega^2A cos(\omega t)$$ | |||
| Подставим $x''$ и $x$ во второй закон Ньютона: | |||
| $$-\omega^2A cos(\omega t) = -\omega_{0}^2 A cos(\omega t) + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ | |||
| Косинус сокращается, и мы получаем следующее выражение для $A$: | |||
| $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | |||
| Коэффициенты $\phi$ и $B$ нужно получить из начальных условий: | |||
| $$x(0) = x_{0}$$ | |||
| $$x'(0) = v_{0}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | |||
| $$x(0) = x_{0}$$ | |||
| $$x'(0) = v_{0}$$ | |||
| Идея решения этой задачи аналогична 3.5.26. Крайне советую с ним ознакомиться. | |||
| unchanged lines 44 | |||
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.27.$ Если Одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой $\omega_{0} = \sqrt{g/l}$. Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут колебания с частотой $\omega = \sqrt{g/l + 2k/m}$. В общем случае движение грузиков естьрезультат наложения этих колебаний: | $3.5.27.$ Если Одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой $\omega_{0} = \sqrt{g/l}$. Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут колебания с частотой $\omega = \sqrt{g/l + 2k/m}$. В общем случае движение грузиков есть результат наложения этих колебаний: | ||
| $$x_{1}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) + Acos(\omega t)$$ | $$x_{1}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) + Acos(\omega t)$$ | ||
| $$x_{2}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) - Acos(\omega t)$$ | $$x_{2}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) - Acos(\omega t)$$ | ||
| Теперь, рассматривая силу $F_{0}cos(\omega t)$, действующую на левый грузик со стороны пружины как вынуждающую, определите величину $A$ через параметры $F_{0}, m, \omega_{0}, \omega$. Слагаемое $B cos(\omega_{0}t +\phi)$ представляет собой свободное колебание выделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров $B$ и $\phi$? | Теперь, рассматривая силу $F_{0}cos(\omega t)$, действующую на левый грузик со стороны пружины как вынуждающую, определите величину $A$ через параметры $F_{0}, m, \omega_{0}, \omega$. Слагаемое $B cos(\omega_{0}t +\phi)$ представляет собой свободное колебание выделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров $B$ и $\phi$? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Запишем второй закон Ньютона для левого грузика: | Запишем второй закон Ньютона для левого грузика: | ||
| $$mx'' = -m\frac{g}{l}x + F_{0}cos(\omega t)$$ | $$mx'' = -m\frac{g}{l}x + F_{0}cos(\omega t)$$ | ||
| $$x'' = -\omega_{0}^2x + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ | $$x'' = -\omega_{0}^2x + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ | ||
| Будем искать решение в виде $x = A cos(\omega t)$. Более подробно о причинах такого "манёвра" можно узнать в решении 3.5.26. | Будем искать решение в виде $x = A cos(\omega t)$. Более подробно о причинах такого "манёвра" можно узнать в решении 3.5.26. | ||
| Найдём вторую производную по времени: | Найдём вторую производную по времени: | ||
| $$x'' = -\omega^2A cos(\omega t)$$ | $$x'' = -\omega^2A cos(\omega t)$$ | ||
| Подставим $x''$ и $x$ во второй закон Ньютона: | Подставим $x''$ и $x$ во второй закон Ньютона: | ||
| $$-\omega^2A cos(\omega t) = -\omega_{0}^2 A cos(\omega t) + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ | $$-\omega^2A cos(\omega t) = -\omega_{0}^2 A cos(\omega t) + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$$ | ||
| Косинус сокращается, и мы получаем следующее выражение для $A$: | Косинус сокращается, и мы получаем следующее выражение для $A$: | ||
| $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| Коэффициенты $\phi$ и $B$ нужно получить из начальных условий: | Коэффициенты $\phi$ и $B$ нужно получить из начальных условий: | ||
| $$x(0) = x_{0}$$ | $$x(0) = x_{0}$$ | ||
| $$x'(0) = v_{0}$$ | $$x'(0) = v_{0}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| $$x(0) = x_{0}$$ | $$x(0) = x_{0}$$ | ||
| $$x'(0) = v_{0}$$ | $$x'(0) = v_{0}$$ | ||
| Идея решения этой задачи аналогична 3.5.26. Крайне советую с ним ознакомиться. | Идея решения этой задачи аналогична 3.5.26. Крайне советую с ним ознакомиться. | ||
| unchanged lines 44 | |||