3.5.27 | revision #13025 | Savchenko Solutions

Условие

3.5.27^∗. Если Одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой $\omega_{0} = \sqrt{g/l}$ . Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут колебания с частотой $\omega = \sqrt{g/l + 2k/m}$ . В общем случае движение грузиков есть результат наложения этих колебаний:

$x_{1}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) + Acos(\omega t)$

$x_{2}(t) = B cos(\omega_{0}t +\phi) - Acos(\omega t)$

Теперь, рассматривая силу $F_{0}cos(\omega t)$ , действующую на левый грузик со стороны пружины как вынуждающую, определите величину $$A$$ через параметры $F_{0}, m, \omega_{0}, \omega$ . Слагаемое $B cos(\omega_{0}t +\phi)$ представляет собой свободное колебание выделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров $$B$$ и $\phi$ ?

Решение

Запишем второй закон Ньютона для левого грузика:

$mx'' = -m\frac{g}{l}x + F_{0}cos(\omega t)$

$x'' = -\omega_{0}^2x + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$

Будем искать решение в виде $x = A cos(\omega t)$ . Более подробно о причинах такого "манёвра" можно узнать в решении 3.5.26.

Найдём вторую производную по времени:

$x'' = -\omega^2A cos(\omega t)$

Подставим $$x''$$ и $$x$$ во второй закон Ньютона:

$-\omega^2A cos(\omega t) = -\omega_{0}^2 A cos(\omega t) + \frac{F_{0}}{m}cos(\omega t)$

Косинус сокращается, и мы получаем следующее выражение для $$A$$ :

$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$

Коэффициенты $\phi$ и $$B$$ нужно получить из начальных условий:

$x(0) = x_{0}$

$x'(0) = v_{0}$

Ответ

$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$

$x(0) = x_{0}$

$x'(0) = v_{0}$

Идея решения этой задачи аналогична 3.5.26. Крайне советую с ним ознакомиться.