Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/4.2.5.md
+14 −34
| @@ -1,44 +1,24 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.2.5.$ | ||
| + | $4.2.5.$ Деревянный куб с ребром 0,5 м плавает в озере, на две трети свое- | ||
| + | го объема погруженный в воду. Какую минимальную работу нужно совершить, | ||
| + | чтобы полностью погрузить куб в воду? | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| − | |||
| − | |||
| ### Решение | |||
| − | |||
| + | В начальный момент времени на куб действуют две силы: сила Архимеда F и сила тяжести mg: | ||
| + | $$F-mg = 0$$ | ||
| + | Чтобы погрузить куб в воду необходимо приложить силу $f$, таким образом в момент полного погружения справедливо отношение: | ||
| + | $$F'-f-mg=0$$ | ||
| + | Сила $f$ изменяется линейно, так как погружение происходит в одной плоскости. Таким образом минимальная работа на погружение равна: | ||
| + | $$A=\int_{0}^{\frac{a}3} f(s)\cdot ds$$ | ||
| + | где $s$ - глубина погружения, $a$ - ребро куба | ||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| + | $$A=\frac {(F'-mg)\cdot a}{6}$$ | ||
| + | $$A=\frac {(F'-F)\cdot a}{6}$$ | ||
| + | $$A =\frac {(1225-816,7)\cdot 0,5}{6}\approx34$$ | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| + | $$A= 34$$ | ||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| @@ -1,44 +1,24 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.5.$ |
$4.2.5.$ Деревянный куб с ребром 0,5 м плавает в озере, на две трети свое- | ||
| го объема погруженный в воду. Какую минимальную работу нужно совершить, | |||
| чтобы полностью погрузить куб в воду? | |||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| В начальный момент времени на куб действуют две силы: сила Архимеда F и сила тяжести mg: | |||
| $$F-mg = 0$$ | |||
| Чтобы погрузить куб в воду необходимо приложить силу $f$, таким образом в момент полного погружения справедливо отношение: | |||
| $$F'-f-mg=0$$ | |||
| Сила $f$ изменяется линейно, так как погружение происходит в одной плоскости. Таким образом минимальная работа на погружение равна: | |||
| $$A=\int_{0}^{\frac{a}3} f(s)\cdot ds$$ | |||
| где $s$ - глубина погружения, $a$ - ребро куба | |||
| __Пример решения__: | $$A=\frac {(F'-mg)\cdot a}{6}$$ | ||
| Ускорение тела задано как | $$A=\frac {(F'-F)\cdot a}{6}$$ | ||
| $$A =\frac {(1225-816,7)\cdot 0,5}{6}\approx34$$ | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | $$A= 34$$ | ||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||