| @@ -1,44 +1,69 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $6.2.6.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $6.2.6.$ Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического |
| | + | поля: |
| | + | а) внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы Q; |
| | + | б) равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити ρ; |
| | + | в) равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда плоскости σ; |
| | + | г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса R, если объемная |
| | + | плотность заряда ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра шара; |
| | + | д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, |
| | + | если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра; |
| | + | е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины h, |
| | + | если объемная плотность заряда в пластине равна ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | − | |
| | − | |
| | | ### Решение |
| | + | Теорма Гаусса: |
| | + | $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | а) В качестве гауссовой поверхности возьмём сферу, центр которой совпадает с центром исходной, а радиус $r$. При $r\leq R$: |
| | + | $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} = 0$$ |
| | + | $$E = 0$$ |
| | + | Т.к заряд внутри сферы равен нулю |
| | + | При $r>R$: |
| | + | $$\Phi = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | б) |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | В силу бесконечности нити, исходя из симметрии, очевидно, что вектор напряжённости перпендикулярен нити |
| | + | В качестве гауссовой поверхности берём циллиндр, ось которого совпадает с нитью, радиус $r$, а высота $H$. Тогда из т. Гаусса: |
| | + | $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho H}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}$$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | в)  |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | В качестве гауссовой поверхности возьмём цилиндр площадь основания которого $S$. Из соображений симметрии вектор напряжённости поля перпендикулярен плоскости, значит поток через бокову поверхности цилиндра равен нулю. Тогда: |
| | + | $$\Phi=E\cdot 2S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | г) В качестве гауссовой поверхности берём сферу радиуса r. тогда при $r\leq R$ |
| | + | $$\Phi=E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi r^3}{3\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$ |
| | + | При $r>R$: |
| | + | $$\Phi =E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi R^3}{3\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$$ |
| | + | В итоге получим график: |
| | + |  |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | д) Гауссова поверхность - коаксиальный цилиндр. При $r\leq R$: |
| | + | $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho \pi r^2H}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$$ |
| | + | При $r>R$: |
| | + | $$\Phi = E 2\pi rH = \frac{\rho \pi R^2H}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$$ |
| | + | Тогда график: |
| | + |  |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | e) |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | Из соображений симметрии напряжённость направленна перпендикулярно пластине. Так же, опять из симметрии, напряжённость в центре пластины равна нулю. При смещении от центра на расстояние $x\leq \frac{h}{2}$ Напряжённость будет равна напряжённости плоскости в координатах от x до -x, суперпозиция остального равна нулю. Тогда(гауссова поверхность - цилиндр площадью основания S): |
| | + | $$\Phi = E 2S = \frac{\rho \cdot 2Sx}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | $$ E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$$ |
| | + | При $x>\frac{h}{2}$ аналогично плоскости, учитывая что $\sigma = \rho h$: |
| | + | $$E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}$$ |
| | + | Тогда график: |
| | + |  |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$a. E=0 при r\leq R, иначе E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}; \quad б.E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}; \quad в.E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}; \quad г.E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} при r\leq R, иначе E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2};\quad д.E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0} при r\leq R, иначе E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}; \quad е.E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0 при x\leq \frac{h}{2}, иначе E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0} $$ |
