Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

astrosander edited
View solution History
revision #13742 parent #13117 ← older newer →
ru/6.2.6.md +50 −18
@@ -1,71 +1,103 @@
### Условие
$6.2.6.$ Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического
поля:
−а) внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы Q;
−б) равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити ρ;
−в) равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда плоскости σ;
−г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса R, если объемная
−плотность заряда ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра шара;
−д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R,
−если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра;
−е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины h,
−если объемная плотность заряда в пластине равна ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины
+а) внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы $Q$;
+б) равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити $\rho$;
+в) равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда плоскости $\sigma$;
+г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса $R$, если объемная плотность заряда $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра шара;
+д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса $R$, если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра;
+е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины $h$, если объемная плотность заряда в пластине равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины
### Решение
+
Теорма Гаусса:
+
$$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}$$
+
а) В качестве гауссовой поверхности возьмём сферу, центр которой совпадает с центром исходной, а радиус $r$. При $r\leq R$:
+
$$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} = 0$$
+
$$E = 0$$
+
Т.к заряд внутри сферы равен нулю
+
При $r>R$:
+
$$\Phi = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
+
$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
−б)![К задаче $6.2.6$|247x502, 30%](../../img/6.2.6/Screenshot 2025-02-06 195743.png)
−В силу бесконечности нити, исходя из симметрии, очевидно, что вектор напряжённости перпендикулярен нити
+![К задаче $6.2.6$|622x1608, 15%](../../img/6.2.6/Picture2.svg)
+
+б) В силу бесконечности нити, исходя из симметрии, очевидно, что вектор напряжённости перпендикулярен нити
+
В качестве гауссовой поверхности берём циллиндр, ось которого совпадает с нитью, радиус $r$, а высота $H$. Тогда из т. Гаусса:
+
$$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho H}{\varepsilon_0}$$
+
$$E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}$$
−в) ![К задаче $6.2.6$|488x446, 50%](../../img/6.2.6/Capture4.PNG)
+![К задаче $6.2.6$|1331x1263, 40%](../../img/6.2.6/Picture1.svg)
−В качестве гауссовой поверхности возьмём цилиндр площадь основания которого $S$. Из соображений симметрии вектор напряжённости поля перпендикулярен плоскости, значит поток через бокову поверхности цилиндра равен нулю. Тогда:
+в) В качестве гауссовой поверхности возьмём цилиндр площадь основания которого $S$. Из соображений симметрии вектор напряжённости поля перпендикулярен плоскости, значит поток через бокову поверхности цилиндра равен нулю. Тогда:
+
$$\Phi=E\cdot 2S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$$
+
$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$
г) В качестве гауссовой поверхности берём сферу радиуса r. тогда при $r\leq R$
+
$$\Phi=E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi r^3}{3\varepsilon_0}$$
+
$$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$
+
При $r>R$:
+
$$\Phi =E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi R^3}{3\varepsilon_0}$$
+
$$E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$$
+
В итоге получим график:
−![К задаче $6.2.6$|466x232, 50%](../../img/6.2.6/Screenshot 2025-02-06 202121.png)
+![К задаче $6.2.6$|673x266, 50%](../../img/6.2.6/6.2.6s1.png)
+
д) Гауссова поверхность - коаксиальный цилиндр. При $r\leq R$:
+
$$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho \pi r^2H}{\varepsilon_0}$$
+
$$E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$$
+
При $r>R$:
+
$$\Phi = E 2\pi rH = \frac{\rho \pi R^2H}{\varepsilon_0}$$
+
$$E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$$
+
Тогда график:
−![К задаче $6.2.6$|492x217, 50%](../../img/6.2.6/Screenshot 2025-02-06 202425.png)
−e)![К задаче $6.2.6$|468x289, 50%](../../img/6.2.6/Screenshot 2025-02-06 203524.png)
+![К задаче $6.2.6$|673x255, 50%](../../img/6.2.6/6.2.6s2.png)
−Из соображений симметрии напряжённость направленна перпендикулярно пластине. Так же, опять из симметрии, напряжённость в центре пластины равна нулю. При смещении от центра на расстояние $x\leq \frac{h}{2}$ Напряжённость будет равна напряжённости плоскости в координатах от x до -x, суперпозиция остального равна нулю. Тогда(гауссова поверхность - цилиндр площадью основания S):
+e) Из соображений симметрии напряжённость направленна перпендикулярно пластине. Так же, опять из симметрии, напряжённость в центре пластины равна нулю. При смещении от центра на расстояние $x\leq \frac{h}{2}$ Напряжённость будет равна напряжённости плоскости в координатах от $x$ до $-x$, суперпозиция остального равна нулю. Тогда(гауссова поверхность - цилиндр площадью основания $S$):
+
$$\Phi = E 2S = \frac{\rho \cdot 2Sx}{\varepsilon_0}$$
+
$$ E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$$
+
При $x>\frac{h}{2}$ аналогично плоскости, учитывая что $\sigma = \rho h$:
+
$$E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}$$
+
Тогда график:
−![К задаче $6.2.6$|517x255, 50%](../../img/6.2.6/Screenshot 2025-02-06 202502.png)
+![К задаче $6.2.6$|673x291, 50%](../../img/6.2.6/6.2.6s.png)
#### Ответ
+
$$a. E=0 \quad при \quad r\leq R,\quad иначе\quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}; \quad б.E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}; \quad в.E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0};$$
+
$$ \quad г.E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\quad при\quad r\leq R,\quad иначе \quad E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2};\quad д.E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0} \quad при\quad r\leq R,\quad иначе\quad E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}; \quad$$
+
$$ е.E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}\quad при\quad x\leq \frac{h}{2},\quad иначе\quad E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0} $$