Edit to “Условие”
ru/2.3.29.md
+1 −1
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| − | $2.3.29^*.$ Бусинка массы $m$ скользит по вертикально расположенному волнообразному участку гладкой проволоки. Длина волны много меньше длины участка и много больше размеров бусинки, а длина проволоки на участке в $k$ раз больше его протяженности. С какой средней силой действует бусинка на этот участок проволок | ||
| + | $2.3.29^*.$ Бусинка массы $m$ скользит по вертикально расположенному волнообразному участку гладкой проволоки. Длина волны много меньше длины участка и много больше размеров бусинки, а длина проволоки на участке в $k$ раз больше его протяженности. С какой средней силой действует бусинка на этот участок проволоки? | ||
| ### Решение: | |||
| Под "средней силой" будем понимать среднюю вертикальную составляющую силы (средняя горизонтальная равна нулю). Усреднение понималось в том смысле, что именно такая сила вызывала бы видимое равноускоренное падение по вертикали (наблюдаемое "с большого расстояния", т.е. с усреднением по витку проволоки). | |||
| С ростом скорости изменение ускорения на витке будет всё меньше и меньше по сравнению со средней по витку скоростью. И поскольку проволока очень длинная, можно считать, что падение всё-таки в среднем равноускоренное. | |||
| Так вот: если $\Delta s$ — длина витка проволоки, $v$ — средняя на данном витке скорость (вдоль проволоки), $\Delta v$ — полное изменение скорости при прохождении всего витка, $\Delta t$ — время прохождения этого витка и $\Delta y$ — расстояние между концами витка по вертикали, то $\Delta s = v \Delta t$ и (по закону сохранения энергии) $\frac{1}{2} (\Delta v)^2 = g \Delta y$. А это — ровно те же дифференциальные уравнения, что и задающие скольжение вдоль наклонной плоскости длины $S$ с перепадом высот $Y$ (равными длине и высоте проволоки соответственно). Отсюда и результат. | |||
| Они наверняка имели в виду проекцию не на вертикальную плоскость, а просто на вертикальную ось. Тогда случай со спиралью просто тривиален. А с неспиралью получается то же самое, но после усреднения по периоду проволоки. И, кстати, спираль они не имели в виду совершенно точно: спираль — она не "волнообразна". | |||
| #### Ответ: | |||
| $$ | |||
| F = mg \frac{k^2-1}{k^2} | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 13 | |||
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.3.29^*.$ Бусинка массы $m$ скользит по вертикально расположенному волнообразному участку гладкой проволоки. Длина волны много меньше длины участка и много больше размеров бусинки, а длина проволоки на участке в $k$ раз больше его протяженности. С какой средней силой действует бусинка на этот участок проволок |
$2.3.29^*.$ Бусинка массы $m$ скользит по вертикально расположенному волнообразному участку гладкой проволоки. Длина волны много меньше длины участка и много больше размеров бусинки, а длина проволоки на участке в $k$ раз больше его протяженности. С какой средней силой действует бусинка на этот участок проволоки? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Под "средней силой" будем понимать среднюю вертикальную составляющую силы (средняя горизонтальная равна нулю). Усреднение понималось в том смысле, что именно такая сила вызывала бы видимое равноускоренное падение по вертикали (наблюдаемое "с большого расстояния", т.е. с усреднением по витку проволоки). | Под "средней силой" будем понимать среднюю вертикальную составляющую силы (средняя горизонтальная равна нулю). Усреднение понималось в том смысле, что именно такая сила вызывала бы видимое равноускоренное падение по вертикали (наблюдаемое "с большого расстояния", т.е. с усреднением по витку проволоки). | ||
| С ростом скорости изменение ускорения на витке будет всё меньше и меньше по сравнению со средней по витку скоростью. И поскольку проволока очень длинная, можно считать, что падение всё-таки в среднем равноускоренное. | С ростом скорости изменение ускорения на витке будет всё меньше и меньше по сравнению со средней по витку скоростью. И поскольку проволока очень длинная, можно считать, что падение всё-таки в среднем равноускоренное. | ||
| Так вот: если $\Delta s$ — длина витка проволоки, $v$ — средняя на данном витке скорость (вдоль проволоки), $\Delta v$ — полное изменение скорости при прохождении всего витка, $\Delta t$ — время прохождения этого витка и $\Delta y$ — расстояние между концами витка по вертикали, то $\Delta s = v \Delta t$ и (по закону сохранения энергии) $\frac{1}{2} (\Delta v)^2 = g \Delta y$. А это — ровно те же дифференциальные уравнения, что и задающие скольжение вдоль наклонной плоскости длины $S$ с перепадом высот $Y$ (равными длине и высоте проволоки соответственно). Отсюда и результат. | Так вот: если $\Delta s$ — длина витка проволоки, $v$ — средняя на данном витке скорость (вдоль проволоки), $\Delta v$ — полное изменение скорости при прохождении всего витка, $\Delta t$ — время прохождения этого витка и $\Delta y$ — расстояние между концами витка по вертикали, то $\Delta s = v \Delta t$ и (по закону сохранения энергии) $\frac{1}{2} (\Delta v)^2 = g \Delta y$. А это — ровно те же дифференциальные уравнения, что и задающие скольжение вдоль наклонной плоскости длины $S$ с перепадом высот $Y$ (равными длине и высоте проволоки соответственно). Отсюда и результат. | ||
| Они наверняка имели в виду проекцию не на вертикальную плоскость, а просто на вертикальную ось. Тогда случай со спиралью просто тривиален. А с неспиралью получается то же самое, но после усреднения по периоду проволоки. И, кстати, спираль они не имели в виду совершенно точно: спираль — она не "волнообразна". | Они наверняка имели в виду проекцию не на вертикальную плоскость, а просто на вертикальную ось. Тогда случай со спиралью просто тривиален. А с неспиралью получается то же самое, но после усреднения по периоду проволоки. И, кстати, спираль они не имели в виду совершенно точно: спираль — она не "волнообразна". | ||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| F = mg \frac{k^2-1}{k^2} | F = mg \frac{k^2-1}{k^2} | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 13 | |||