Edit to “Альтернативное решение”

emixter edited
View solution History
revision #17986 parent #13119 ← older
ru/2.3.29.md +81 −0
@@ -12,8 +12,89 @@Решение:
Они наверняка имели в виду проекцию не на вертикальную плоскость, а просто на вертикальную ось. Тогда случай со спиралью просто тривиален. А с неспиралью получается то же самое, но после усреднения по периоду проволоки. И, кстати, спираль они не имели в виду совершенно точно: спираль — она не "волнообразна".
+### Альтернативное решение:
+
+Эпиграф: "Бусинка была ещё той кокеткой: по оси х она осциллировала, а по оси у дрейфовала".
+
+![К задаче $2.3.29$|1003x1037, 70%](../../img/2.3.29/2.3.29.jpeg)
+
+Запишем второй закон Ньютона для нашей бусинки в проекции на оси $0x$ и $0y$ (смотри рисунок):
+
+$$m\frac{d\upsilon_{x}}{dt}=N_{x} \tag{1}$$
+$$m\frac{d\upsilon_{y}}{dt}=mg-N_{y} \tag{2}$$
+
+Проинтегрируем по времени (1):
+
+$$m(\upsilon_{x}(T)-\upsilon_{x}(0))=\int_{0}^{T}N_{x}dt$$
+
+Разделим обе части на $T$ - время прохождения шаблонного участка:
+
+$$m\frac{(\upsilon_{x}(T)-\upsilon_{x}(0))}{T}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}N_{x}dt$$
+
+По определению среднего значения:
+
+$$\left\langle N_{x} \right\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}N_{x}dt$$
+
+Проволока «толкает» бусинку то в одну сторону, то в другую, но из-за симметрии и большого числа волн эти импульсы компенсируются. Можно считать, что проекции скорости на ось х в начале и в конце шаблонного участка одинаковы по модулю, но разнонаправленны: $\upsilon_{x}(T)-\upsilon_{x}(0)\approx 0$. Тогда:
+
+$$\left\langle N_{x} \right\rangle=0 \tag{3}$$
+
+Теперь проинтегрируем по времени (2):
+
+$$m(\upsilon_{y}(T)-\upsilon_{y}(0))=mgT-\int_{0}^{T}N_{y}dt$$
+
+Разделив на $T$ и воспользовавшись определением среднего, получим:
+
+$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-m\frac{(\upsilon_{y}(T)-\upsilon_{y}(0))}{T} \tag{4}$$
+
+Связь проекции скорости на ось у с полной скоростью:
+
+$$\upsilon_{y}(t)=\upsilon(t)\sin\alpha(t)=\upsilon(t)\frac{d y}{dl}|_{t}$$
+
+где $dl$ - это малое перемещение вдоль проволоки. Подставим в (4):
+
+$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-\frac{m}{T}\left( \upsilon(T)\frac{d y}{dl}|_{T}-\upsilon(0)\frac{d y}{dl}|_{0} \right) \tag{5}$$
+
+Угол наклона бусинки в начале движения вдоль шаблонного участка и в конце - одинаков, поэтому:
+
+$$\frac{d y}{dl}|_{T}=\frac{d y}{dl}|_{0}$$
+
+По условию задачи длина проволоки на участке в $k$ раз больше его протяженности:
+
+$$l=kh\Rightarrow \frac{h}{l}=\frac{1}{k}$$
+
+Но это и есть синус угла наклона нашего шаблонного участка в начале движения бусинки и в конце:
+
+$$\frac{d y}{dl}|_{T}=\frac{d y}{dl}|_{0}=\frac{1}{k}$$
+
+Перепишим (5):
+
+$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-\frac{m}{k}\cdot\frac{\upsilon(T)-\upsilon(0)}{T} \tag{6}$$
+
+Запишем закон сохранения энергии для нашего шаблонного участка:
+
+$$\frac{m\upsilon^{2}(T)}{2}-\frac{m\upsilon^{2}(0)}{2}=mgh\Longrightarrow (\upsilon(T)-\upsilon(0))\cdot\frac{\upsilon(T)+\upsilon(0)}{2}=gh \tag{7}$$
+
+Второй множитель это средняя скорость на шаблонном участке. С другой стороны при условии, что длина волны много меньше длины участка, средняя скорость равна:
+
+$$\upsilon_{ср}=\frac{l}{T}\Longrightarrow \frac{\upsilon(T)+\upsilon(0)}{2}=\frac{l}{T}$$
+
+Тогда (7) можно переписать:
+
+$$(\upsilon(T)-\upsilon(0))\cdot\frac{l}{T}=gh\Longrightarrow \frac{\upsilon(T)-\upsilon(0)}{T}=g\frac{h}{l}=\frac{g}{k} \tag{8}$$
+
+Подставим (8) в (6):
+
+$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-\frac{m}{k}\cdot\frac{g}{k}=mg\left( 1-\frac{1}{k^{2}} \right) \tag{9}$$
+
+Итак, средняя сила, с которой бусинка действует на проволоку:
+
+$$\vec N_{ср}=(\left\langle N_{x} \right\rangle, \left\langle N_{y} \right\rangle)=\left( 0, mg\left( 1-\frac{1}{k^{2}} \right)\right)$$
+
+сила направлена вертикально.
+
#### Ответ:
$$
F = mg \frac{k^2-1}{k^2}
$$