| @@ -1,44 +1,28 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $6.2.8.$ [Вставьте описание задачи] |
| $6.2.8.$ С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? |
| |
| тетраэдра? Поверхностная плотность заряда граней $\sigma$, длина ребра $l$ |
| |
| |
| __Пример условия__: |
| |
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| Сила, действующая на одну грань: |
| |
| $$F = \sigma\iint EdS$$ |
| |
| Где $\iint EdS$ - поток, создаваемый остальными гранями. |
| |
| Суммарный поток для куба(По теореме Гаусса, гауссова поверхность - куб немного большего размера): |
| |
| $$q_{грани} = \sigma S$$ |
| |
| $$\Phi_{sum} = \frac{6\sigma l^2}{\varepsilon_0}$$ |
| |
| Тогда распишем поток через одну грань. C одной стороны это одна шестая всего потока, с дургой это поток, создаваемый пятью гранями и самой гранью: |
| |
| $$\Phi_1=\frac{\sigma l^2}{\varepsilon_0} = \iint EdS + \frac{\sigma l^2}{2\varepsilon_0}$$ |
| |
| Выразим и подставим: |
| |
| $$\iint EdS = \frac{\sigma l^2}{2\varepsilon_0}$$ |
| |
| $$F=\frac{\sigma^2 l^2}{2\varepsilon_0}$$ |
| |
| |
| [Здесь должно быть ваше решение] |
| Для тетраэдора рассуждения анологичны: |
| |
| $$\Phi_{sum} = \frac{\sigma\sqrt{3}l^2}{\varepsilon_0}$$ |
| __Пример решения__: |
| $$\Phi_1=\frac{\sigma\sqrt{3}l^2}{4\varepsilon_0} = \iint EdS + \frac{\sigma\sqrt{3}l^2}{8\varepsilon_0}$$ |
| Ускорение тела задано как |
| Выразим и подставим: |
| |
| $$\iint EdS = \frac{\sigma\sqrt{3} l^2}{8\varepsilon_0}$$ |
| $$a(t) = bt$$ |
| $$F=\frac{\sigma^2 \sqrt{3} l^2}{8\varepsilon_0}$$ |
| |
| |
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| |
| |
| |
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| |
| |
| |
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| |
| |
| |
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| |
| |
| |
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| |
| |
| |
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| $$F=\frac{\sigma^2 l^2}{2\varepsilon_0}$$ |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| $$F=\frac{\sigma^2 \sqrt{3} l^2}{8\varepsilon_0}$$ |
| |
| |
| |
| |
| __Пример ответа__: |
| |
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| |
