Edits to “Условие”, “Решение”, “Сжатие пружины на величину”

igor edited
View solution History
revision #13316 parent #13313 ← older newer →
ru/2.5.24.md +75 −4
@@ -1,11 +1,82 @@
### Условие
−$24.$ 2.5.24. Тела массами~$m_1$ и~$m_2$ связаны недеформированной пружиной жесткости~$k$. Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы~$m_1$ чтобы пружина сжалась на величину~$x$. Какими будут скорости тел, когда пружина снова окажется недеформированной?
+$2.5.24.$ Тела массами $m_1$ и $m_2$ связаны недеформированной пружиной жесткости $k$. Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы $m_1$ чтобы пружина сжалась на величину $x$. Какими будут скорости тел, когда пружина снова окажется недеформированной?
### Решение
−[Здесь должно быть ваше решение]
+### Сжатие пружины на величину $\boldsymbol x$
−#### Ответ
+Ясно, что наибольшее сжатие у пружины наблюдается тогда, когда тело $m_1$ перестает приближаться к телу $m_2$, то есть, когда их скорости сравниваются. Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\left\\{
+\begin{aligned}&\frac{m_1V^2}{2}=\frac{m_1v^2}{2}+\frac{m_2v^2}{2}+W,\\\ &m_1V=m_1v+m_2v,
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+где $V$ есть искомая скорость тела $m_1$, дающая (максимальное) сжатие $x$ пружины; $v$ есть скорость тел в момент накопления пружиной энергии $W$ (максимум сжатия).
+
+Решив систему, для удобства, относительно~$W$, получаем:
+
+$$
+W=\frac{m_1m_2V^2}{2(m_1+m_2)}.
+$$
+
+C другой стороны,
+
+$$
+W=\frac{kx^2}{2}.
+$$
+
+Совместное же решение двух предыдущих уравнений дает нам искомую скорость:
+
+$$
+V=x\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}.
+$$
+
+### Пружина снова недеформирована
+
+Будем начальным моментом времени обозначать момент сообщения скорости $V$ телу 1.
+
+Мы можем показать, что с течением времени оба тела $m_1$ и $m_2$ будут совершать колебания в системе отсчета центра масс (СОЦМ). При этом в СОЦМ они будут колебаться как бы на своих пружинах, закрепленных в точке центра масс. Поэтому в этой системе отсчета движение каждого тела подобно движению пружинного маятника [1].
+
+#### Рассматриваем движения тел в СОЦМ
+
+Чтобы разобраться, из какой фазы начинаются колебания тел, запишем, чему равна скорость центра масс:
+$$
+V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
+$$
+
+Отсюда видно, что тела начинают колебания из своих положений равновесия, двигаясь к центру масс с начальными скоростями соответственно:
+\begin{gather*}
+ v_{1c}=V-V_c=\frac{m_2V}{m_1+m_2\strut},\\
+ v_{2c}=V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
+\end{gather*}
+
+Пружина снова окажется недеформированной в момент, когда оба тела опять придут в свои положения равновесия (то есть в начальные положения). Оказывается, тела двигаются с одинаковыми периодами; покажем, что это так.
+
+Так как центр масс находится на расстоянии $x_c=\dfrac{m_2\strut}{m_1+m_2\strut}l$ от первого тела, то жесткость «его» пружины равна:
+$$
+k_1=\frac{m_1+m_2}{m_2}k.
+$$
+А жесткость пружины второго тела равна:
+$$
+k_1=\frac{m_1+m_2}{m_1}k.
+$$
+Соответственно для периодов колебаний тел 1 и 2 можно записать:
+\begin{gather*}T_1=2\pi\sqrt{\frac{m_1\strut}{k_1}}=2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2\strut}{(m_1+m_2)k}},\\\ T_1=2\pi\sqrt{\frac{m_2\strut}{k_2}}=2\pi\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{(m_1+m_2)k}}.
+\end{gather*}
+Периоды колебаний тел действительно равны.
+
+Из вышесказанного следует, что тела возвратятся в свои начальные положения одновременно. Ближайшее такое возвращение тел 1 и 2 происходит со теми же скоростями $v_{1c}$ и $v_{2c}$, но направленными в противоложную сторону относительно соответствующих начальных скоростей этих тел.
+
+#### Переходим в неподвижную систему отсчета
+
+Для указанного ближайшего возвращения в соответствии с законом сложения скоростей получаем скорости тел 1 и 2 в исходной системе отсчета:
+\begin{gather*}v_1=V_c-v_{1c}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V,\\\ v_2=V_c+v_{2c}=\frac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}.
+\end{gather*}
+
+Ясно, что при следующем «ближайшем возвращении» движение системы идентично ее движению в начальный момент времени. Движение системы обладает периодическим характером.
+
+
+#### Ответ: $V=x\sqrt{\dfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$; $v_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V$, $v_2=\dfrac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}$, затем $v_1=V$, $v_2=0$ и т. д.