$2.5.24.$ Тела массами $m_1$ и $m_2$ связаны недеформированной пружиной жесткости $k$. Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы $m_1$ чтобы пружина сжалась на величину $x$. Какими будут скорости тел, когда пружина снова окажется недеформированной?
### Решение
### Сжатие пружины на величину $x$
Ясно, что наибольшее сжатие у пружины наблюдается тогда, когда тело $m_1$ перестает приближаться к телу $m_2$, то есть, когда их скорости сравниваются. Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
где $V$ есть искомая скорость тела $m_1$, дающая (максимальное) сжатие $x$ пружины; $v$ есть скорость тел в момент накопления пружиной энергии $W$ (максимум сжатия).
Решив систему, для удобства, относительно~$W$, получаем:
$$
W=\frac{m_1m_2V^2}{2(m_1+m_2)}.
$$
C другой стороны,
$$
W=\frac{kx^2}{2}.
$$
Совместное же решение двух предыдущих уравнений дает нам искомую скорость:
$$
V=x\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}.
$$
### Пружина снова недеформирована
Будем начальным моментом времени обозначать момент сообщения скорости $V$ телу 1.
Мы можем показать, что с течением времени оба тела $m_1$ и $m_2$ будут совершать колебания в системе отсчета центра масс (СОЦМ). При этом в СОЦМ они будут колебаться как бы на своих пружинах, закрепленных в точке центра масс. Поэтому в этой системе отсчета движение каждого тела подобно движению пружинного маятника [1].
#### Рассматриваем движения тел в СОЦМ
Чтобы разобраться, из какой фазы начинаются колебания тел, запишем, чему равна скорость центра масс:
$$
V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
$$
Отсюда видно, что тела начинают колебания из своих положений равновесия, двигаясь к центру масс с начальными скоростями соответственно:
\begin{gather*}
v_{1c}=V-V_c=\frac{m_2V}{m_1+m_2\strut},\\
v_{2c}=V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
\end{gather*}
@@ -55,7 +55,7 @@Рассматриваем движения тел в СОЦМ
Пружина снова окажется недеформированной в момент, когда оба тела опять придут в свои положения равновесия (то есть в начальные положения). Оказывается, тела двигаются с одинаковыми периодами; покажем, что это так.
−
Так как центр масс находится на расстоянии $x_c=\dfrac{m_2\strut}{m_1+m_2\strut}l$ от первого тела, то жесткость «его» пружины равна:
+
Так как центр масс находится на расстоянии $x_c=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}l$ от первого тела, то жесткость «его» пружины равна:
$$
k_1=\frac{m_1+m_2}{m_2}k.
$$
А жесткость пружины второго тела равна:
$$
k_1=\frac{m_1+m_2}{m_1}k.
$$
Соответственно для периодов колебаний тел 1 и 2 можно записать:
Из вышесказанного следует, что тела возвратятся в свои начальные положения одновременно. Ближайшее такое возвращение тел 1 и 2 происходит со теми же скоростями $v_{1c}$ и $v_{2c}$, но направленными в противоложную сторону относительно соответствующих начальных скоростей этих тел.
#### Переходим в неподвижную систему отсчета
Для указанного ближайшего возвращения в соответствии с законом сложения скоростей получаем скорости тел 1 и 2 в исходной системе отсчета:
Ясно, что при следующем «ближайшем возвращении» движение системы идентично ее движению в начальный момент времени. Движение системы обладает периодическим характером.
#### Ответ: $V=x\sqrt{\dfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$; $v_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V$, $v_2=\dfrac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}$, затем $v_1=V$, $v_2=0$ и т. д.
unchanged lines 21
### Условие
### Условие
$2.5.24.$ Тела массами $m_1$ и $m_2$ связаны недеформированной пружиной жесткости $k$. Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы $m_1$ чтобы пружина сжалась на величину $x$. Какими будут скорости тел, когда пружина снова окажется недеформированной?
$2.5.24.$ Тела массами $m_1$ и $m_2$ связаны недеформированной пружиной жесткости $k$. Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы $m_1$ чтобы пружина сжалась на величину $x$. Какими будут скорости тел, когда пружина снова окажется недеформированной?
### Решение
### Решение
### Сжатие пружины на величину $x$
### Сжатие пружины на величину $x$
Ясно, что наибольшее сжатие у пружины наблюдается тогда, когда тело $m_1$ перестает приближаться к телу $m_2$, то есть, когда их скорости сравниваются. Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
Ясно, что наибольшее сжатие у пружины наблюдается тогда, когда тело $m_1$ перестает приближаться к телу $m_2$, то есть, когда их скорости сравниваются. Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
где $V$ есть искомая скорость тела $m_1$, дающая (максимальное) сжатие $x$ пружины; $v$ есть скорость тел в момент накопления пружиной энергии $W$ (максимум сжатия).
где $V$ есть искомая скорость тела $m_1$, дающая (максимальное) сжатие $x$ пружины; $v$ есть скорость тел в момент накопления пружиной энергии $W$ (максимум сжатия).
Решив систему, для удобства, относительно~$W$, получаем:
Решив систему, для удобства, относительно~$W$, получаем:
$$
$$
W=\frac{m_1m_2V^2}{2(m_1+m_2)}.
W=\frac{m_1m_2V^2}{2(m_1+m_2)}.
$$
$$
C другой стороны,
C другой стороны,
$$
$$
W=\frac{kx^2}{2}.
W=\frac{kx^2}{2}.
$$
$$
Совместное же решение двух предыдущих уравнений дает нам искомую скорость:
Совместное же решение двух предыдущих уравнений дает нам искомую скорость:
$$
$$
V=x\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}.
V=x\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}.
$$
$$
### Пружина снова недеформирована
### Пружина снова недеформирована
Будем начальным моментом времени обозначать момент сообщения скорости $V$ телу 1.
Будем начальным моментом времени обозначать момент сообщения скорости $V$ телу 1.
Мы можем показать, что с течением времени оба тела $m_1$ и $m_2$ будут совершать колебания в системе отсчета центра масс (СОЦМ). При этом в СОЦМ они будут колебаться как бы на своих пружинах, закрепленных в точке центра масс. Поэтому в этой системе отсчета движение каждого тела подобно движению пружинного маятника [1].
Мы можем показать, что с течением времени оба тела $m_1$ и $m_2$ будут совершать колебания в системе отсчета центра масс (СОЦМ). При этом в СОЦМ они будут колебаться как бы на своих пружинах, закрепленных в точке центра масс. Поэтому в этой системе отсчета движение каждого тела подобно движению пружинного маятника [1].
#### Рассматриваем движения тел в СОЦМ
#### Рассматриваем движения тел в СОЦМ
Чтобы разобраться, из какой фазы начинаются колебания тел, запишем, чему равна скорость центра масс:
Чтобы разобраться, из какой фазы начинаются колебания тел, запишем, чему равна скорость центра масс:
$$
$$
V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
$$
$$
Отсюда видно, что тела начинают колебания из своих положений равновесия, двигаясь к центру масс с начальными скоростями соответственно:
Отсюда видно, что тела начинают колебания из своих положений равновесия, двигаясь к центру масс с начальными скоростями соответственно:
\begin{gather*}
\begin{gather*}
v_{1c}=V-V_c=\frac{m_2V}{m_1+m_2\strut},\\
v_{1c}=V-V_c=\frac{m_2V}{m_1+m_2\strut},\\
v_{2c}=V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
v_{2c}=V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
\end{gather*}
\end{gather*}
@@ -55,7 +55,7 @@Рассматриваем движения тел в СОЦМ
Пружина снова окажется недеформированной в момент, когда оба тела опять придут в свои положения равновесия (то есть в начальные положения). Оказывается, тела двигаются с одинаковыми периодами; покажем, что это так.
Пружина снова окажется недеформированной в момент, когда оба тела опять придут в свои положения равновесия (то есть в начальные положения). Оказывается, тела двигаются с одинаковыми периодами; покажем, что это так.
Так как центр масс находится на расстоянии $x_c=\dfrac{m_2\strut}{m_1+m_2\strut}l$ от первого тела, то жесткость «его» пружины равна:
Так как центр масс находится на расстоянии $x_c=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}l$ от первого тела, то жесткость «его» пружины равна:
$$
$$
k_1=\frac{m_1+m_2}{m_2}k.
k_1=\frac{m_1+m_2}{m_2}k.
$$
$$
А жесткость пружины второго тела равна:
А жесткость пружины второго тела равна:
$$
$$
k_1=\frac{m_1+m_2}{m_1}k.
k_1=\frac{m_1+m_2}{m_1}k.
$$
$$
Соответственно для периодов колебаний тел 1 и 2 можно записать:
Соответственно для периодов колебаний тел 1 и 2 можно записать:
Из вышесказанного следует, что тела возвратятся в свои начальные положения одновременно. Ближайшее такое возвращение тел 1 и 2 происходит со теми же скоростями $v_{1c}$ и $v_{2c}$, но направленными в противоложную сторону относительно соответствующих начальных скоростей этих тел.
Из вышесказанного следует, что тела возвратятся в свои начальные положения одновременно. Ближайшее такое возвращение тел 1 и 2 происходит со теми же скоростями $v_{1c}$ и $v_{2c}$, но направленными в противоложную сторону относительно соответствующих начальных скоростей этих тел.
#### Переходим в неподвижную систему отсчета
#### Переходим в неподвижную систему отсчета
Для указанного ближайшего возвращения в соответствии с законом сложения скоростей получаем скорости тел 1 и 2 в исходной системе отсчета:
Для указанного ближайшего возвращения в соответствии с законом сложения скоростей получаем скорости тел 1 и 2 в исходной системе отсчета:
Ясно, что при следующем «ближайшем возвращении» движение системы идентично ее движению в начальный момент времени. Движение системы обладает периодическим характером.
Ясно, что при следующем «ближайшем возвращении» движение системы идентично ее движению в начальный момент времени. Движение системы обладает периодическим характером.
#### Ответ: $V=x\sqrt{\dfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$; $v_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V$, $v_2=\dfrac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}$, затем $v_1=V$, $v_2=0$ и т. д.
#### Ответ: $V=x\sqrt{\dfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$; $v_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V$, $v_2=\dfrac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}$, затем $v_1=V$, $v_2=0$ и т. д.
