Альтернативное решение

Силу, действующую на небольшую площадь сферы, можно определить как механическое напряжение, умноженное на эту площадь:

$$σdS=dF$$

Из стереометрии нам известно, что площадь сферы можно определить как произведение квадрата радиуса и телесного угла сферы:

$$S=4πR²=R²Ω$$

Берём производную площади, с учётом того, что телесный угол постоянный:

$$dS=2RdRΩ$$
Отсюда приращение радиуса(толщина сферы неизвестна)
$$dR=\frac{dS}{2RΩ}$$

Сила на малую часть сферы:

$$dF=g*dm$$

Применив теорему Гаусса, получим поток напряжённости гравитационного поля:
$$\oint gdS=-4πGM$$

$$-4πR²g=-4πGM$$

Отсюда найдем напряжонность поля:

$$g=\frac{GM}{R²}$$

Масса малой части сферы:
$$dm=ρdV$$

Производная объема, которую можно записать через производную площади:
$$dV=4πR²dR=\frac{RdS}{2}$$

Подставим силу в самое первое уравнение:
$$σdS=\frac{GM}{R²}ρ\frac{RdS}{2}$$

Получим рабочую формулу механического напряжения:

$$σ=\frac{GMρ}{2R}$$
Подставив числа, получим:
$$\boxed{σ=1.8*10¹²Па}$$