Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Shrodinger_cat edited
View solution History
revision #13431 parent #13430 ← older
ru/6.5.18.md +37 −6
@@ -1,12 +1,43 @@
### Условие
−$6.5.18.$ [Вставьте условие задачи]
+$6.5.18^*.$ Определите энергию электрического поля равномерно заряженного
+шара радиуса $R$. Полный заряд шара $Q$.
### Решение
−
−Определите энергию электрического поля равномерно заряженного
−шара радиуса R. Полный заряд шара Q.
−
+Для нахождения энергии поля равномерно заряженного шара нам нужно сложить энергии поля внутри и снаружи шара:
+$$
+W = W_1 + W_2
+$$
+Для нахождения энергии поля воспользуемся объёмной плотностью энергии:
+$$
+dW = \frac{\varepsilon_0E^2}{2}dV
+$$
+Найдём ждя начала энергию поля внутри шара. Напряжёность поля равна по теореме Гаусса:
+$$
+E_1 = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}
+$$
+Подставим напряжёность в выражение для энергии, зная $dV = Sdr$, и проинтегрируем от $0$ до $R$:
+$$
+W_1 = \frac{2\pi\rho^2}{9\varepsilon_0}\cdot\int{r^4dr} = \frac{2\pi\rho^2R^5}{45\varepsilon_0}
+$$
+Зная, что $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$, получим:
+$$
+W_1 = \frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}
+$$
+Аналогично найдём энергию для поля снаружи, зная, что напряжёность поля вне шара равна:
+$$
+E_2 = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}
+$$
+Проинтегрируя выражение для энергии от $R$ до $\infty$, получим:
+$$
+W_2 = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}
+$$
+И энергия поля будет равна:
+$$
+W = \frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R}
+$$
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+W = \frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R}
+$$