Решение

Для нахождения энергии поля равномерно заряженного шара нам нужно сложить энергии поля внутри и снаружи шара:
$$W = W_1 + W_2$$
Для нахождения энергии поля воспользуемся объёмной плотностью энергии:
$$dW = \frac{\varepsilon_0E^2}{2}dV$$
Найдём ждя начала энергию поля внутри шара. Напряжёность поля равна по теореме Гаусса:
$$E_1 = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$
Подставим напряжёность в выражение для энергии, зная $dV = Sdr$, и проинтегрируем от $0$ до $R$:
$$W_1 = \frac{2\pi\rho^2}{9\varepsilon_0}\cdot\int{r^4dr} = \frac{2\pi\rho^2R^5}{45\varepsilon_0}$$
Зная, что $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$, получим:
$$W_1 = \frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}$$
Аналогично найдём энергию для поля снаружи, зная, что напряжёность поля вне шара равна:
$$E_2 = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$$
Проинтегрируя выражение для энергии от $R$ до $\infty$, получим:
$$W_2 = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$$
И энергия поля будет равна:
$$W = \frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R}$$